Energia harmonického oscilátoraEnergia harmonického oscilátora

Pri kmitavom pohybe dochádza k periodickým zmenám kinetickej a potenciálnej energie. Celková mechanická energia v izolovanej sústave, v ktorej pôsobí iba konzervatívna sila, musí byť konštantná. V miestach s maximálnou výchylkou je rýchlosť nulová a celková mechanická energia sa rovná potenciálnej energii, pre ktorú platí:
 
        (6.1.3.1)
 
Rovnakú hodnotu celkovej energie dostaneme, ak budeme vychádzať z kinetickej energie. Pri prechode kmitajúceho hmotného bodu rovnovážnou polohou je potenciálna energia nulová a po dosadení maximálnej hodnoty rýchlosti z (6.1.2.12) do výrazu pre kinetickú energiu dostávame
 
        (6.1.3.2)
 
Okamžité hodnoty kinetickej a potenciálnej energie sú vyjadrené rovnicami
 
        (6.1.3.3)
 
        (6.1.3.4)
 
Ľahko sa môžeme presvedčiť, že súčet okamžitých hodnôt kinetickej a potenciálnej energie harmonického oscilátora nezávisí na čase.
 
        (6.1.3.5)
 
Celková mechanická energia netlmeného harmonického oscilátora je konštantná a je priamo úmerná silovej konštante a štvorcu amplitúdy kmitov.
 
 
Príklad 6.1.3
Amplitúda netlmeného harmonického pohybu hmotného bodu je A0 = 0,02 m a celková energia kmitov EC = 3.10–7 J. Vypočítajte, pri akej výchylke pôsobí na hmotný bod návratná  sila  veľkosti  F = 2,25.10–5 N.
 
Riešenie
Pre návratnú silu pri netlmenom harmonickom pohybe platí: F = – k x , kde výchylka x je daná vzťahom x = A0 cos (w t + j), pričom platí:
 
 
Celková energia netlmeného harmonického pohybu je súčet kinetickej a potenciálnej energie.  Pri odvodzovaní rovnice (6.1.3.5) sme si ukázali, že celková energia sa rovná  Ec = ½ k A02 . Pre konštantu návratnej sily odtiaľ dostaneme
 
 
Dosadením do výrazu pre návratnú silu, dostaneme pre hľadanú výchylku
 
 
 
Príklad 6.1.4
Pri akej výchylke harmonického oscilátora sa bude jeho kinetická energia rovnať potenciálnej? Čomu sa rovná stredná kinetická a stredná potenciálna energia harmonického oscilátora za jednu periódu?
 
Riešenie
Kinetická energia harmonického oscilátora je:
 
 
a jeho potenciálna energia je:
 
 
Má platiť E= Ep,  teda
 
 
Riešením tejto trigonometrickej rovnice dostaneme tg (ω t + j) = 1,  odkiaľ   (ω t + j)  = p/4 . Výchylka harmonického oscilátora je daná vzťahom:   x = A0 cos (ω t + j) . Po dosadení fázy dostaneme:
 
 
Pri takejto hodnote výchylky sa bude okamžitá kinetická energia rovnať okamžitej potenciálnej energii.
Stredná hodnota kinetickej energie je určená integrálom
 
 
a stredná hodnota potenciálnej energie za jednu periódu integrálom
 
 
Vidíme, že stredná hodnota kinetickej energie a stredná hodnota potenciálnej energie harmonického oscilátora sú rovnaké. Ich súčet sa rovná celkovej energii harmonického oscilátora.
piwik