Tlmený harmonický pohybTlmený harmonický pohyb

Amplitúda ani energia netlmeného harmonického oscilátora od času nezávisia a pohyb takéhoto oscilátora by trval stále. Pri kmitaní reálnych objektov sa vždy viac, alebo menej stretávame s odporom prostredia a s trením. Kmity pri pôsobení trenia postupne zanikajú alebo, ako uvidíme v určitých prípadoch, napriek počiatočnej výchylke, alebo rýchlosti vôbec nevzniknú. Experimentálne môžeme tlmený kmitavý pohyb realizovať napríklad ponorením predchádzajúcej kmitajúcej sústavy – harmonického oscilátora do viskóznej kvapaliny ako je znázornené na obr.6.1.7.
 
 
Predpokladajme, že odpor prostredia je priamo úmerný rýchlosti Fodp= – k´v , kde k´>0. Sila odporu prostredia smeruje proti rýchlosti, čo vyjadruje znamienko mínus v tomto výraze. Ak pôsobiaca návratná sila je priamo úmerná výchylke pohybová rovnica má tvar
 
        (6.1.6.1)
 
Zaveďme substitúcie
 
 
Novú konštantu b nazývame koeficient útlmu. Konštanta w0 je vlastná uhlová frekvencia, t.j. uhlová frekvencia netlmeného harmonického oscilátora. Po úprave dostávame pohybovú rovnicu v tvare
 
        (6.1.6.2)
 
Riešenie rovnice hľadáme v tvare  x = Celt. Po dosadení tejto funkcie do predchádzajúcej rovnice dostávame charakteristickú rovnicu
 
 
ktorej riešením je
 
        (6.1.6.3)
 
Dvom hodnotám l odpovedá všeobecné riešenie rovnice (6.1.6.2) v tvare lineárnej kombinácie
 
        (6.1.6.4)
 
Podľa veľkosti tlmenia môžu nastať tri prípady:
 
i) Tlmenie je veľké a b2w 02 > 0, potom  obidve riešenia charakteristickej rovnice l1,2 sú reálne čísla a x nemá žiadnu periodickú zložku. Teoreticky za čas t ® ¥ sa teleso dostane znovu do rovnovážnej polohy x = 0.  Grafický priebeh závislosti x = x(t) je krivka (a) na obr. 6.1.8. Pri takomto veľkom tlmení o pohybe hovoríme, že je to aperiodický pohyb. Kmitanie vôbec nenastane.
 
 
ii) Tlmenie je také, že b2w 02 = 0. V takomto prípade z matematiky vyplýva, že riešením rovnice (6.1.6.2) je funkcia x = e-bt a aj funkcia x = t e-bt  (ľahko si overíme dosadením). Všeobecné riešenie je ich lineárnou kombináciou a má tvar
 
        (6.1.6.5)
 
Tento pohyb nazývame medzný aperiodický pohyb. Zodpovedá mu krivka (b) na obr.6.1.8.
 

iii) Tlmený kmitavý pohyb nastáva len pri malom tlmení, ak b2w02 < 0. Potom
 
 
Všeobecné riešenie pohybovej rovnice má tvar
 
        (6.1.6.6)
 
Podobným postupom ako v prípade harmonického oscilátora dospejeme substitúciou a úpravou  k reálnemu tvaru všeobecného riešenia
 
        (6.1.6.7)
 
Uhlová frekvencia w je menšia, ako uhlová frekvencia pri netlmenom kmitaní tej istej sústavy a mení sa aj amplitúda, ktorá s časom exponenciálne klesá:
                                                                                                
        (6.1.6.8)
 
Priebeh kmitania a zmeny amplitúdy je ukázaný na obr.6.1.9.
 
 
Prísne vzaté nemôžeme tlmený kmitavý pohyb pokladať za periodický pohyb, pretože kmitajúci bod nedosiahne svoju pôvodnú výchylku. Pohyb je kváziperiodický a o perióde T môžeme hovoriť iba ako o časovom intervale, za ktorý hmotný bod prechádza rovnovážnou polohou.
Perióda tlmených kmitov je
 
        (6.1.6.9)
 
Platí  T >T0, kde T0 je perióda vlastných kmitov. Ak je tlmenie malé, perióda sa prakticky rovná perióde netlmených kmitov. Zväčšovaním tlmenia perióda narastá.
 
Podiel amplitúd dvoch po sebe nasledujúcich maximálnych výchyliek označujeme l a nazývame útlm.
 
        (6.1.6.10)
 
Prirodzený logaritmus útlmu je logaritmický dekrement útlmu d.
 
        (6.1.6.11)
 
Zo závislosti amplitúdy na čase (6.1.6.8) vidíme, že amplitúda kmitov sa zmenší e-krát za časový interval rovnajúci sa 1/b. Potom prevrátená hodnota logaritmického dekrementu útlmu vyjadruje počet kmitov, počas ktorých sa amplitúda kmitov zmení e-krát. Čím väčší je logaritmický koeficient útlmu, tým menší je počet kmitov potrebný na určité zníženie amplitúdy.
 
V časti 6.1.4 sme zistili, že celková mechanická energia kmitajúceho oscilátora je úmerná štvorcu amplitúdy. Ak energia oscilátora s tlmením sa v čase t = 0 rovnala E0, potom mechanická energia takéhoto oscilátora bude s rastúcim časom klesať, a to podľa rovnice
 
        (6.1.6.12)
 
Vplyvom trenia dochádza k disipácii energie, mechanická energia kmitavého pohybu sa mení na energiu tepelnú a pohyb postupne zaniká. Ak v kmitajúcej sústave chceme pohyb udržať, musíme sústave vhodným spôsobom dodávať energiu. Na druhej strane práve tlmenie využívame v technickej praxi na odstránenie nežiadúcich vibrácií.
 
 
Príklad 6.1.14
Logaritmický dekrement tlmeného harmonického pohybu hmotného bodu je d = 0,03. Vypočítajte, akú časť mechanickej energie stratí hmotný bod za 20 s trvania pohybu, keď perióda tlmeného pohybu je
T = 2 s.
 
Riešenie
Celková mechanická energia na počiatku pohybu je:
 
 
Keďže pri tlmenom pohybe sa amplitúda s časom mení podľa vzťahu
 
 
bude mechanická energia v čase  t:
 
 
Pre logaritmický dekrement platí: d  = b T a hmotný bod stratí za čas t energiu:
 
 
Relatívna strata energie:
 
 
Hmotný bod za 20 s pohybu stratí 45 % energie.
 
 
Príklad 6.1.15
Guľôčka s hustotou r  = 2,7.103 kg.m–3  a s polomerom r = 1 cm, zavesená na pružine, kmitá  vo vzduchu s uhlovou frekvenciou ωo = 6,28 s–1, ponorená v oleji s uhlovou frekvenciou ω = 5,32 s1. Pohyb guľôčky vo vzduchu môžeme považovať za netlmený harmonický pohyb, v oleji za tlmený harmonický pohyb. Vypočítajte dynamickú viskozitu oleja h a logaritmický dekrement d, keď odpor prostredia je úmerný rýchlosti guľôčky podľa Stokesovho vzťahu: F = 6 phrv.
 
Riešenie
Pohybová rovnica guľôčky v oleji má tvar:
 
 
Z porovnania s rovnicou 6.1.6.2 pre vlastnú frekvenciu netlmeného pohybu platí:
 
 
pre koeficient tlmenia:
 
 
Zo vzťahu medzi uhlovými frekvenciami a koeficientom tlmenia určíme dynamickú viskozitu oleja:
 
 
pričom sme dosadili za hmotnosť guľôčky:
 
 
Logaritmický dekrement vyjadríme z jeho definície:
 
piwik