Informácie

Hľadanie

Dvojnásobný vektorový súčinDvojnásobný vektorový súčin

Dvojnásobný vektorový súčin medzi tromi vektormi  a, b, c  môže mať dva tvary , pokiaľ dodržíme určené poradie vektorov :
 
a ´ (b ´ c)      a     (a ´ b) ´ c        (1.2.4.1)
 
Zo zápisu je zrejmé, že výsledkom dvojnásobného vektorového súčinu je vektorová veličina. Uvedené dva tvary neposkytujú rovnaký výsledok. Výsledkom súčinu vektorov nachádzajúcich sa v zátvorke je v oboch prípadoch vektor , ktorý je na ich rovinu kolmý (označme si ho ako w , obr. 1.2.4.1). Súčinom vektora  w  s ďalším vektorom je vektor u, ktorý je kolmý aj na vektor  w, takže  musí ležať v rovine vektorov, ktoré sú uvedené v zátvorke. To znamená, že výsledok dvojnásobného vektorového súčinu  u  možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu vektorov, nachádzajúcich sa v zátvorke. V prvom prípade výsledný vektor  u1 leží v rovine vektorov  b, c   a v druhom prípade výsledný vektor  u2  leží v rovine  vektorov  a, b . Druhý prípad je nakreslený na obrázku.
 
 
Pre výsledné vektory platia nasledujúce vzorce:
 
u1  =  a ´ (b ´ c)  =   b (a × c) -  c (a × b )        (1.2.4.2)
u2  =  (a ´ b) ´ c  =   b (a × c) -  a (b × c )        (1.2.4.3)
 
Správnosť týchto vzorcov možno dokázať celkom všeobecným postupom, ktorý je však náročný a pomerne rozsiahly. Preto si jeden zo vzorcov, a to  (1.2.4.3) ,  odvodíme zjednodušeným postupom na príklade troch ľubovoľných nekomplanárnych vektorov  a, b, c,  v špeciálne zvolenej karteziánskej súradnicovej sústave. Súradnicovú os  x  zvolíme tak, aby bola rovnobežná s vektorom  a  , takže  a  bude mať len jednu zložku,  a to rovnobežnú s jednotkovým vektorom  i  :   a = ax i .   Os  y  zvolíme tak,  aby rovina  (xy)  bola rovnobežná s rovinou určenou vektormi  a, b .  Vtedy vektor  b  , pokiaľ nie je kolmý na  a ,  bude mať dve zložky  :  bbx i + by j .  Os  z  karteziánskej sústavy je tým už jednoznačne určená, a tak  vektor  c , ak chceme uvažovať čo najvšeobecnejšie, musí mať tri zložky :  c = cx i + cy j + cz k 
Súhrnne:                                                                               
a = ax i
                        bbx i + by j  ,         (1.2.4.5)
c = cx i + cy j + cz k
Potom dvojnásobný vektorový súčin  (a ´ b) ´ c   vypočítame:
=  [ ax i ´ (bx i + by j )] ´ (cx i + cy j + cz k ) =  [ ax by k] ´ (cx i + cy j + cz k ) =
=   ax by cx j  -  ax by cy +  ( ax bx cx i  -  ax bx cx i )
Výraz v zátvorke v poslednom riadku nie je výsledkom priameho výpočtu, rovná sa nule, a to, že sme ho pridali do výpočtu, je len súčasťou nášho zjednodušeného postupu. Vhodným pospájaním členov posledného riadku dostaneme:  
 
(a ´ b) ´ c  =  (ax cx) (bx i + by j ) - (bx cx + by cy) (ax i)
 
Keď si uvedomíme,  že platí
 
ax cxa × c     a      bx cx + by cy  =  b × c,
 
čo si ľahko overíme vypočítaním týchto skalárnych súčinov vychádzajúc zo zadania vektorov  (1.2.4.5),  dostaneme konečný výsledok 
 
(a ´ b) ´ c    =   b (a × c) -  a (b × c )
 
Podobne možno odvodiť aj vzorec (1.2.4.2), pričom opäť sa overí zásada, že výsledný vektor, výsledok dvojnásobného vektorového súčinu, možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu vektorov ležiacich v rovine vektorov uvedených v zátvorke.
 
Dvojnásobný vektorový súčin sa často využíva pri vyjadrovaní vzťahov v mechanike, ale aj elektromagnetizme.

 
Príklad 1.2.4.1
Vypočítajte  dvojnásobný  vektorový  súčin  ( a ´ b) ´ c  vektorov :  a = 5 i  ,  b = 4 i + 3 j c =  2 i  - j  +  k  a overte si, že výsledný vektor leží v rovine vektorov a, b .  Vektory  a, b  ležia v rovine xy , takže výsledný vektor by mal mať len zložky rovnobežné s jednotkovými vektormi  i, j . Nakreslite si obrázok.
 
Riešenie
( a ´ b) ´ c  =  [5 i ´ ( 4 i + 3 j )] ´ (2 i  - j  +  k ) =  [15 k] ´ (2 i  - j  +  k ) = 30 j + 15 i
 
 

Kontrolné otázky

  1. Napíšte dva možné varianty dvojnásobného vektorového súčinu !
  2. V ktorej rovine leží výsledný vektor dvojnásobného vektorového súčinu ? Zdôvodnite svoje tvrdenie !
  3. Napíšte vzorce vyjadrujúce výsledný vektor získaný dvojnásobným vektorovým súčinom !
  4. Čím sa navzájom odlišujú výsledky súčinov   (a x b) x c,    c x (a x b) ?
  5. Čím sa navzájom odlišujú výsledky súčinov   (a x b) x c,    a x (b x c) ?