Rozlíšime tri hlavné prípady súčinov : skalárny násobok vektorovej funkcie času  skalárnou funkciou času, skalárny súčin dvoch vektorových funkcií času a ako tretí prípad vektorový súčin dvoch vektorových funkcií.

V prvom prípade vektorová funkcia môže byť výsledkom skalárneho násobku inej vektorovej funkcie, pričom vo všeobecnom prípade skalárna, aj pôvodná vektorová funkcia môžu závisieť od času. Napríklad   ak 

 

b(t) =  s(t) a(t),

 

potom pri derivácii tohoto výrazu musíme postupovať ako pri derivácii súčinu:

 

 

        (1.3.3.1)

 

Podobne, ak máme derivovať skalárny, alebo vektorový súčin dvoch vektorových funkcií závisiacich od času, treba postupovať podľa pravidla pre deriváciu súčinu:

 

        (1.3.3.2)

 

        (1.3.3.3)

 

Pri derivácii vektorového súčinu treba zachovať poradie vektorových funkcií, pri skalárnom súčine možno uplatniť jeho komutatívnosť. Analogicky postupujeme, ak máme derivovať napríklad skalárny násobok vektorového súčinu s(a ´ b) ,  alebo súčin skalárnej funkcie so skalárnym súčinom   s(a × b) .  Vzťahy pre derivácie viacnásobných súčinov si už čitateľ dokáže odvodiť sám.

 

Derivujte podľa času vektorovú funkciu F(t),  ktorá je výsledkom násobenia vektorovej funkcie skalárnou funkciou času,  F(t) =  (3t ²) (p i  +  qt j  +  rt ² k)  , kde p, q, r  sú konštanty.  Vypočítajte veľkosť výsledného vektora G(t ) v čase  t = t₁ .

 

Postupujeme podľa vzorca  (1.3.3.1):

 

dF/dt  =  (6t ) (p i  +  qt j  +  rt ² k) + (3t ²) (q  j  +  2rt k) =  6pt i + (6qt ² + 3qt ²) j  + (6rt ³ + 6rt ³)k

 

Veľkosť výsledného vektora  G(t ) =  6pt i + 9qt ² j  + 12rt³k  vypočítame podľa vzťahu (1.1.4.3) (Pythagorovej vety), do ktorého dosadíme konkrétny časový údaj  t₁:

 

G(t) = [ (6pt₁)²  + (9qt₁²)² + (12rt₁³)² ]^1/2