Informácie

Hľadanie

Derivácia vektora, ktorého veľkosť sa nemeníDerivácia vektora, ktorého veľkosť sa nemení

Pri pohybe častice po kružnici, ak jej polohový vektor  r   vzťahujeme na stred kružnice, tento sa otáča uhlovou rýchlosťou w, ale nemení svoju veľkosť. Nech  r = Rr , kde  r  je jednotkový vektor a  R  polomer kružnice. Podobne nech  w  = w wo  , kde  wo  je jednotkový vektor rovnobežný s vektorom  w  a  w  jeho veľkosť . Deriváciou polohového vektora podľa času dostaneme rýchlosť častice  :   v  =  dr / dt .  Pri pohybe po kružnici  platí skalárny vzťah v = Rw   (2.1.5.4),  ktorý vyjadruje veľkosť vektora obvodovej rýchlosti. Pritom  vieme, že  vektor  v  je rovnobežný s dotyčnicou kružnice, poznáme teda aj jeho smer určený jednotkovým vektorom t  :     v = v t  . 
 
   
 
Preto môžeme napísať vzťah  v = (R w) t  . Pomocou obrázku si možno overiť, že jednotkový  vektor  t   možno vyjadriť ako vektorový súčin     t  =  wo ´ r  . Tak dostaneme  vzťah
 
dr / dt  = v   = (R w) t   =  (R w) (wo ´ r ) = (w wo ´  R r ) = w  ´  r ,    t.j.
 
(dr / dt)  =  w  ´  r ,        (2.1.6.1)
 
ktorý vyjadruje deriváciu vektora s nemeniacou sa veľkosťou.
 
Derivácia vektora, ktorý sa s časom nemení (t.j. nemení sa jeho veľkosť, ani smer), sa rovná nule. Ak sa vektor s časom mení tak, že sa nemení jeho veľkosť, potom sa musí otáčať istou uhlovou rýchlosťou. Táto vstupuje do vzorca (2.1.6.1), vyjadrujúceho jeho deriváciu. 
 
Vzťah  (2.1.6.1)  sa týka derivácie ľubovoľného vektora s nemeniacou sa veľkosťou, napríklad jednotkového vektora, ktorý sa otáča.  Preto pre jednotkový vektor  r , otáčajúci sa uhlovou rýchlosťou  w  platí: 
                                                                                                                                              
dr / dt  = w ´ r        (2.1.6.2)
 

Kontrolné otázky

  1. Kedy je derivácia vektora rýchlosti nulová?
  2. Napíšte vzťah vyjadrujúci súvislosť obvodovej a uhlovej rýchlosti hmotného bodu pohybujúceho sa po kružnici.
  3. Napíšte vzťah určujúci deriváciu vektora q podľa času , ak  jeho veľkosť je konštantná.