Informácie

Hľadanie

Zložený pohyb - zrýchlenieZložený pohyb - zrýchlenie

Z dynamického  hľadiska je dôležité zrýchlenie častice. Z pohľadu dvoch sústav -  S  a   S , nie je rovnaké. Zrýchlenie vzhľadom na sústavu  S získame deriváciou vzťahu  (2.1.10.5)
 
(dv /dt)S =   (dvo /dt )S +  (dv '/dt)S  +  (d(w  ´  r ' )/dt)S        (2.1.11.1)
 
Na ľavej strane je zrýchlenie  a  častice vzhľadom na inerciálnu sústavu S . Prvý člen na pravej strane predstavuje zrýchlenie ao  začiatku sústavy  S   vzhľadom na sústavu S . V ďalších dvoch členoch vystupujú vektory   v '  a  r ' vyjadrené v sústave   S , preto na derivácie týchto vektorov vzhľadom na sústavu  S sa vzťahuje vzorec  (2.1.10.6)  , takže   platí :
 
(d v ' /dt)S = (d v ' /dt)S +  (w  ´ v  ' )  =  a '  +  (w  ´ v  ' )        (2.1.11.2)
 
kde  a '  je zrýchlenie častice vzhľadom na sústavu   S  .  Posledný člen rovnice (2.1.11.1)  sa počíta takto
 
 [d(w ´ r ')/dt]S  = (dw /dt) ´ r '  + w  ´ (dr '/dt)S  =  (a ´ r ' ) +  (w  ´ v ' )  +  [w  ´ (w  ´  r ' )]        (2.1.11.3)
 
kde  dw /dt  = a   je uhlové zrýchlenie sústavy  S   vzhľadom na sústavu  S a kde za  (dr '/dt)S  sa dosadí výsledok podľa vzorca (2.1.10.4).       
Dosadením výsledkov  (2.1.11.2)  a (2.1.11.3)  do rovnice  (2.1.11.1)  dostaneme výsledný vzťah :
 
 a  =  aoa '  +  (a ´ r ' )  +  2(w  ´ v' )  +   [w  ´ (w  ´  r ' )]        (2.1.11.4)
 
 
Príklad   2.1.11.1
 Vypočítajte zrýchlenie bodu na obvode kolotoča vzhľadom na okolitý terén, keď kolotoč sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou  w  a polomer kolotoča je R .
 
Riešenie
Sústavu   S   viažeme na otáčajúci sa kolotoč, sústavu  S  na terén, pričom začiatky sústav stotožníme. Vtedy  ro = 0 ,  vo = 0 , ao = 0 . Kolotoč nemá uhlové zrýchlenie, preto aj   a = 0 . Bod sa vzhľadom na kolotoč nepohybuje, preto v' = 0 , aj  a' = 0. Vzorec ( 2.1.11.4) na výpočet zrýchlenia sa takto veľmi zjednoduší  :
 
 a  =  w  ´ (w  ´  r ' ) = w (w × r ' ) - r 'w2 = - r 'w2
 
lebo vektory  w  a  r '  sú na seba kolmé,  takže ich skalárny súčin sa rovná nule. Vektor zrýchlenia teda smeruje do stredu otáčania, je to dostredivé zrýchlenie, lebo ide o pohyb bodu po kružnici. Jeho veľkosť je  Rw2 .
 
 
Príklad   2.1.11.2
Posúďte, aké zrýchlenie má predmet nehybne ležiaci v sústave  S vzhľadom na otáčajúcu sa sústavu   S  .  
 
Riešenie
Stotožníme začiatky sústav , takže ro = 0 ,  vo = 0 , ao = 0 . Pre nehybný predmet v sústave  platí v = 0, takže zo vzorca  (2.1.10.5) pre rýchlosť dostaneme
 
v’ =  -  (w  ´  r ' )
 
Keďže aj a = 0 , pre zrýchlenie predmetu vzhľadom na sústavu S  na základe rovnice  (2.1.10.5) dostaneme výsledok :
 
a ’ =  - 2 (w ´ v ' ) -  w ´ (w ´ r ' )  =  + 2  w ´ (w ´ r ' ) -  w ´ (w ´ r ' ) = +w ´ (w ´ r ' ) = - r 'w2
 
Výsledok je teda rovnaký, ako v príklade  2.1.11.1, ide o dostredivé zrýchlenie. Pozorovateľovi sledujúcemu okolité telesá z otáčajúcej sa sústavy S sa situácia javí tak, že okolité telesá sa okolo neho pohybujú po kružniciach. Takto napríklad vidíme pohybovať sa hviezdy, keď ich pozorujeme z otáčajúcej sa Zeme, preto im musíme pripísať dostredivé zrýchlenie.
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
 
Príklad   2.1.11.3
Bod sa pohybuje v inerciálnej sústave  S  po priamke  konštantnou rýchlosťou v .   Vypočítajte zrýchlenie tohto bodu ako sa javí zo sústavy S , ktorá sa vzhľadom na sústavu  S   otáča  konštantnou uhlovou rýchlosťou  w , ale nevzďaľuje sa od nej. Vektory v  a w nech sú pre jednoduchosť na seba kolmé. (Pozri obr. v príklade 2.1.10.4)
 
Riešenie
Stotožníme začiatky sústav, takže   ro = 0 ,  vo = 0 , ao = 0 a navyše  a = 0 . Bod sa v  S pohybuje konštantnou rýchlosťou, takže v = 0 . Rýchlosť  bodu vzhľadom na   S  bola vypočítaná v príklade 2.1.10.4:   
 
 v  ’ =  v  -  (w  ´  r ) = v  -  [ w  ´ (ro + v t )]
 
Pre zrýchlenie podľa rovnice  (2.1.11.4) platí :
 
 a'  = - 2 (w ´ v ' ) -  w ´ (w ´ r ) =  - 2 w ´ [ v  -  (w  ´  r ) ] - w ´ (w ´ r ) =  - 2(w ´ v)  + w ´ (w ´ r )
 
Zrýchlenie má dva členy, druhý predstavuje dostredivé zrýchlenie,  prvý je kolmý na vektor rýchlosti, predstavuje zrýchlenie, ktoré mení smer vektora rýchlosti. O zmene smeru vektora rýchlosti  v '  sme hovorili v príklade  2.1.10.4. Je dôsledkom otáčania vzťažnej sústavy   S  ,  v inerciálnej sústave  S  vektor rýchlosti  v  nemení smer, ani veľkosť a nazýva sa Coriolisove zrýchlenie.
 
 

Kontrolné otázky

  1. Vysvetlite, čo rozumieme pod pojmami „ absolútna sústava a relatívna sústava“.
  2. Vyjadrite zrýchlenie hmotného bodu A vzhľadom na absolútnu sústavu. Vysvetlite význam jednotlivých veličín i členov.
  3. Vyjadrite zrýchlenie hmotného bodu A vzhľadom na relatívnu sústavu. Vysvetlite význam jednotlivých veličín i členov.
  4. Napíšte vzťah pre Coriolisove zrýchlenie.
  5. Kedy musíme zvažovať pôsobenie Coriolisovho zrýchlenia? Uveďte príklady.