Informácie

Hľadanie

Gravitačné pole ZemeGravitačné pole Zeme

Naša planéta Zem tiež vytvára vo svojom okolí gravitačné pole. Môžeme predpokladať, že Zem má tvar homogénnej gule s hmotnosťou Mz  6.1024 kg, s polomerom Rz = 6 378 km. Spomínali sme už, že gravitačné pole v okolí homogénnej gule je rovnaké ako v okolí hmotného bodu s rovnakou hmotnosťou, nachádzajúceho sa v strede gule.
 
Pod pojmom  tiaž telesa rozumieme silu, ktorou je teleso o hmotnosti m priťahované k Zemi. Označujeme ju symbolom G a môžeme ju vyjadriť pomocou Newtonovho zákona sily aj pomocou Newtonovho gravitačného zákona. V skalárnom tvare to je
           
        resp.                 (3.2.7.1)
 
kde r predstavuje vzdialenosť telesa od stredu Zeme a g je zrýchlenie telesa, ktoré mu udeľuje gravitačná sila – tzv. tiažové zrýchlenie. Ako vyplýva z uvedených vzťahov, toto zrýchlenie môžeme vyjadriť ako
 
        (3.2.7.2)
 
Pre povrch Zeme, kde r = Rz, je tiažové zrýchlenie rovné
 
        (3.2.7.3)
                                                                                                                                                        
a má hodnotu približne 9,81 m.s-2 (presná hodnota závisí od zemepisnej šírky).
 
Potenciálna energia telesa, kde r je vzdialenosť od silového centra, t.j. od stredu Zeme, je daná vzťahom
 
        (3.2.7.4)
 
V praxi je však mnohokrát vhodnejšie vzťahovať ju na zemský povrch. Jednoduchým výpočtom môžeme ukázať, že pre relatívne malé výšky h nad povrchom Zeme, kde môžeme hodnotu tiažového  zrýchlenia považovať za konštantnú, sa uvedený vzťah  zjednoduší  na tvar Ep = mgh, známy z dynamiky.
 
 
 
Ako je  zrejmé z obr.  3.2.7.1, potenciálnu energiu v určitom bode vo výške h vzťahovanú na povrch Zeme môžeme vyjadriť ako rozdiel energií v danom bode a na zemskom povrchu (obe voči nekonečnu)
 
        (3.2.7.5)
 
Ak uvážime, že h <<Rz, dostaneme
 
        (3.2.7.6)
 
Po aplikovaní vzťahu (3.2.7.2), podľa ktorého
 
 
 
dospejeme k výsledku
 
Ep = m g h        (3.2.7.7)
 
 
Príklad 3.2.7.1 
Aká je hodnota  tiažového zrýchlenia g vo výške h = 100 km nad povrchom Zeme?
 
Riešenie
Tiažové zrýchlenie g v danom mieste poľa je rovné intenzite poľa
               
        (3.2.7.8)
 
Číselne pre danú výšku dostaneme
 
        (3.2.7.9)
 
 [m.s-2]
 
Vypočítaná hodnota sa líši od hodnoty zrýchlenia na povrchu Zeme menej ako o 3 %. Gravitačné pole po úroveň takýchto relatívne „malých“ výšok môžeme pokladať za homogénne, s konštantnou hodnotou intenzity (resp. zrýchlenia) 9,81 m.s-2.
 
 
Dôležitými veličinami pre každé väčšie nebeské teleso (Slnko, planéty, mesiace) sú I. a II. kozmická rýchlosť.
 
Určíme teraz ich hodnoty pre planétu Zem:
I. kozmická rýchlosť vI je rovná rýchlosti, ktorú musíme udeliť telesu v horizontálnom smere tesne nad povrchom Zeme, aby obiehalo okolo nej po kruhovej dráhe ako umelá družica Zeme.
 
II. kozmická rýchlosť vII predstavuje tzv. únikovú rýchlosť z povrchu Zeme. Je to minimálna rýchlosť, ktorou musíme  vrhnúť teleso zo zemského  povrchu zvislo nahor, aby natrvalo opustilo gravitačné
Obrázok – I. a II. kozmická rýchlosť (súhrnne).
 
 
 

Príklad 3.2.7.2
Určte výšku h nad povrchom Zeme, v akej obiehajú stacionárne družice.
 
Riešenie
Stacionárne družice  Zeme sú také umelé družice, ktoré obiehajú nad zemským rovníkom v smere od západu na východ, pričom doba ich obehu je  zhodná s dobou jedného otočenia Zeme okolo svojej osi, t.j. T = 24 hod.= 86400 s. Takáto družica sa potom zdá akoby „zavesená“ nad jedným miestom zemského povrchu. Stacionárne družice sú preto veľmi vhodné na telekomunikačné účely, t.j. na prenos rozhlasových a televíznych programov, medzikontinentálnych telefonických hovorov a pod.
 
Pri výpočte výšky h vychádzame z rovnosti odstredivej a dostredivej,  t.j. gravitačnej sily
 
 
kde rýchlosť obiehania v určíme ako podiel dráhy a času pri jednom obehu
 
 
Po dosadení do predchádzajúceho vzťahu a vykrátení hmotnosti m na oboch stranách rovnice dostaneme
 
 
 
Po úprave
 
 
 
 
 
 
 
číselne
 
 
h = 35 900 km
 
Poznámka
Odstredivú silu môžeme vyjadriť aj pomocou uhlovej rýchlosti w. Výhodou tohto vyjadrenia je, že uhlová rýchlosť družice je rovnaká ako u bodov na zemskom povrchu. Tento spôsob riešenia prenechávame na čitateľa.
 
 

Kontrolné otázky

  1. Ktoré planéty – okrem Zeme – tvoria planetárny systém Slnečnej sústavy?
  2. Čo je to tiaž telesa? S ktorou silovou interakciou súvisí?
  3. Je tiažové zrýchlenie na povrchu Zeme totožné s gravitačným zrýchlením?(Pri zdôvodnení   vezmite do úvahy aj rotáciu Zeme okolo svojej osi).
  4. Definujte I. a II. kozmickú rýchlosť.
  5. Aký tvar bude mať dráha telesa , ktorému tesne nad povrchom Zeme udelíme   v horizontálnom smere rýchlosť (odpor vzduchu zanedbávame)        a) menšiu ako I. kozmická rýchlosť, b) rovnú I. kozmickej rýchlosti, c) väčšiu ako I. kozmická rýchlosť, ale menšiu ako II. kozmická rýchlosť (t.j. rýchlosť v intervale 7,9 až 11,2 km.s-1;), d) rovnú alebo väčšiu ako II. kozmická rýchlosť.
  6. Čo je to stacionárna družica?
  7. Pomocou gravitačnej teórie vysvetlite javy morského prílivu a odlivu.