Informácie

Hľadanie

Základná rovnica hydrostatikyZákladná rovnica hydrostatiky

Uvažujme kvapalinu, ktorá je v pokoji. Ako vyplýva z úvahy uvedenej v úvode, kvapalina nemôže odolávať tangenciálnemu napätiu a z plošných síl na element kvapaliny, ktorá je v pokoji, môže pôsobiť iba normálové napätie – tlak. Objemovú silu pôsobiacu na určitý element kvapaliny charakterizuje objemová hustota sily f. Predstavme si v kvapaline plochu, ktorá uzatvára objem V. Ak je kvapalina obsiahnutá v tejto ploche v rovnováhe, potom sa súčet všetkých plošných síl pôsobiacich cez rozhranie na danú kvapalinu a objemových síl pôsobiacich na touto plochou uzatvorený objem kvapaliny musí rovnať nule. Rovnováhu plošných a objemových síl vyjadruje v integrálnom tvare rovnica:
 
        (5.1.1.1)
 
Pripomíname, že vektor elementu plochy dS je definovaný tak, že smeruje z uzatvorenej plochy von. Tlaková sila na element plochy je preto – pdS.
Hľadáme teraz rovnicu, ktorá bude vyjadrovať podmienku rovnováhy síl v diferenciálnom tvare,  teda pre každý bod kvapaliny. Majme nekonečne malý objemový element dV = dx dy dz  umiestnený v pravouhlej súradnicovej sústave podľa obr.5.1.1.1. Tlak je iba funkciou polohy, nie orientácie plochy, a ak sa v bode  A (x, y, z) rovná p, potom v bode B (x + dx, y, z) sa rovná:
 
 
        (5.1.1.2)
 
V smere osi  x  pôsobí tlak na dve steny objemového elementu. Podmienku rovnováhy objemových a plošných síl v osi x vyjadríme rovnicou:
 
        (5.1.1.3)
 
ktorá po úprave nadobúda tvar:
 
        (5.1.1.4a)
 
Analogicky dostaneme rovnice vyjadrujúce podmienky rovnováhy v smere osí y a z:
 
        (5.1.1.4b,c)
 
Po vynásobení týchto rovníc jednotkovými vektormi i, j, k a sčítaní dostávame vo vektorovom tvare základnú rovnicu hydrostatiky:
 
        (5.1.1.5)
 
kde gradient tlaku je vektor
 
 
Objemová hustota sily v kvapaline, ktorá je v pokoji, sa rovná gradientu tlaku. Objemovú hustotu sily môžeme vyjadriť pomocou hustoty kvapaliny a intenzity príslušného vonkajšieho poľa vzťahom  f = r E.
 
V prípade, že silové pole objemových síl je konzervatívne, t.j. pre intenzitu platí E = – grad j , kde j  je potenciál  príslušného poľa, dostávame všeobecne platnú rovnicu  hydrostatiky:
 
        (5.1.1.6)
 
Ak hustota r je konštantná, potom
 
 
a rovnicu  (5.1.1.6)  môžeme vyjadriť v tvare
 
 
 
odkiaľ vyplýva:
 
        (5.1.1.7)
 
Fyzikálna interpretácia tejto rovnice je: súčet potenciálnej energie objemovej jednotky a tlaku pre nestlačiteľnú kvapalinu v konzervatívnom silovom poli je konštantný.
 
V gravitačnom poli s konštantnou intenzitou platí pre potenciál gravitačného poľa: j = gh, kde g je gravitačné zrýchlenie a h je výška nad zvolenou hladinou nulového potenciálu. Rovnicu hydrostatiky pre nestlačiteľnú kvapalinu v gravitačnom poli dostávame potom v tvare:
 
        (5.1.1.8a)
 
 
Príklad 5.1.1.1
Na určenie tlaku v nádobe naplnenej plynom použijeme otvorený ortuťový vákuomer (obr.5.1.1.2). Aký je tlak plynu v nádobe, ak rozdiel hladín ortuti v trubiciach vákuomera  je h = 0,45 m?
 
Riešenie
Rozhranie ortuť-vzduch si zvolíme za vzťažnú rovinu. Potom zo základnej rovnice hydrostatiky platí
 
 
Hľadaný tlak bude:
                      
 
 
 
Príklad 5.1.1.2
Dve otvorené ramená spojených nádob sú naplnené navzájom sa nemiešajúcimi kvapalinami a to vodou a terpentínovým olejom. Aká je vzdialenosť hladín kvapalín v jednotlivých ramenách od spoločného rozhrania (obr. 5.1.1.3), keď rozdiel výšok  hladín v ramenách je  Dh = 10 cm ?
 

Riešenie
Zo základnej rovnice hydrostatiky  v stave rovnováhy platí  r φ + p = konšt., kde φ je potenciál tiaže. Ak spoločné rozhranie kvapalín volíme za vzťažnú rovinu kde φ = 0, musí byť v obidvoch ramenách tlak v kvapaline rovnaký, teda:  
 
r1 g h1 + pA = r 2g h 2+ pA  , pričom  h1 – h2 = Dh.
 
Z týchto dvoch rovníc úpravou dostaneme:
 
 
 
Ak je zmena potenciálnej energie vzhľadom na rôzne miesta v kvapaline oproti tlaku zanedbateľná, potom z tejto rovnice vyplýva známy Pascalov zákon: vo vnútri ako aj na hraničných plochách je v kvapaline, ktorá je v pokoji a nepôsobia na ňu vonkajšie sily, všade rovnaký tlak:
 
p  =  konšt.        (5.1.1.8b)
 
Táto skutočnosť sa v praxi využíva v hydraulických lisoch.
 
 

Príklad 5.1.1.3 
Pri dvíhaní nákladu hmotnosti m = 2 t  pomocou hydraulického zdviháka (obr. 5.1.1.4) sa vykonala práca W = 40 J. Pritom malý piest vykonal 10 zdvihov a pri každom sa posúval o h =10 cm. Koľkokrát je plocha väčšieho piestu S1 väčšia než plocha malého piestu S2 ?
 
Riešenie
Práca pri n-krát opakovanom pohybe malého piesta je:  W = n F2 h. Z Pascalovho zákona  o rovnomernom šírení sa tlaku v kvapaline pritom platí:
 
 
Odtiaľ platí: 
 
 
Pre hľadaný pomer prierezov: