Výtok kvapaliny otvorom malého prierezu
Majme kvapalinu hustoty r v širokej otvorenej nádobe, na dne ktorej je malý otvor (obr.5.2.4.1).
Tlak v prierezoch S1 aj S2 je rovnaký a rovná sa atmosférickému tlaku. Bernoulliho rovnica pre miesta 1 a 2 má tvar:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt095.gif)
Platí S1 >> S2, preto v1 << v2 a kinetickú energiu objemovej jednotky v mieste 1 môžeme zanedbať oproti kinetickej energii v mieste 2. Pre rýchlosť výtoku kvapaliny dostávame:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt096.gif)
Rozdiel h1 – h2 = h je výška kvapaliny nad otvorom. Vzťah, ktorý sme odvodili pre rýchlosť výtoku ideálnej kvapaliny otvorom malého prierezu
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt097.gif)
sa volá Toricelliho vzťah.
Poznámka
Všimnite si, že rýchlosť výtoku ideálnej kvapaliny je taká istá, ako by bola rýchlosť telesa padajúceho z rovnakej výšky. Rýchlosť výtoku reálnych kvapalín bude v dôsledku viskozity menšia.
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt098.gif)
Príklad 5.2.4.1
Nádoba postavená na vodorovnej rovine je naplnená vodou do výšky h = 0,4 m a udržuje sa na tejto hladine. Ako vysoko nad dnom musíme urobiť v stene nádoby otvor, aby voda striekala čo najďalej na vodorovnú rovinu? (obr.5.2.4.2)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt099.gif)
Riešenie
Pre jednotlivé častice kvapaliny pri vytekaní z otvoru platia kinematické rovnice opisujúce vodorovný vrh:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt100.gif)
pričom pre výtokovú rýchlosť platí Torricelliho vzťah:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt101.gif)
Po dosadení rýchlosti v a času t, pre súradnicu x dostaneme:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt102.gif)
Hľadáme extrém tejto funkcie, teda:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt103.gif)
Príklad 5.2.4.2
Valcový rezervoár na vodu s polomerom R = 50 cm má na dne otvor s priemerom d = 4 cm. Do nádoby priteká voda s objemovým tokom Qp = 0,7×10–2 m3×s–1. Akú maximálnu výšku dosiahne voda v rezervoári? Ako dlho bude trvať jeho vyprázdnenie, ak sa prítok vody zastaví v čase, keď hladina vody je maximálna?
Riešenie
Ustálenú maximálnu výšku vody v rezervoári dostaneme, ak sa prítok vody Qp rovná výtoku Qv:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt104.gif)
pričom sme za výtokovú rýchlosť dosadili Torricelliho vzťah.
Po uzavretí prítoku bude sa výtok rovnať časovému úbytku objemu vody z rezervoára:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt105.gif)
kde V = SV h = p R2 h , pričom
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt106.gif)
Po dosadení dostaneme:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt107.gif)
Separáciou premenných a integráciou:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/mt108.gif)
Kontrolné otázky
-
Čo je to objemový a čo hmotnostný prietok?
-
Čo tvrdí rovnica kontinuity? Platí aj pre plyny?
-
Čo je to hydrodynamický paradox?
-
Vyslovte Bernoulliho rovnicu. Aký je význam jej členov?
-
Odvoďte rozmer každého člena v Bernoulliho rovnici,
-
Napíšte zákon zachovania energie pre ideálnu tekutinu prúdiacu vodorovným potrubím.
-
Aký je rozdiel medzi dynamickou a kinematickou viskozitou?
-
Aký je rozdiel medzi rýchlostným profilom pri laminárnom a turbulentnom prúdení?
-
Napíšte zákon zachovania hmotnosti pre kvapalinu, ktorá prúdi potrubím s rôznymi prierezmi.
-
Z akého dôvodu sa kovový nadstavec polievacej hadice na konci zužuje?
-
Prečo sa prúd kvapaliny vytekajúcej zo dna nádoby zužuje?
-
Polomer aorty je » 1 cm a krv sa v nej pohybuje rýchlosťou » 30 cm×s–1. Vypočítajte rýchlosť krvi v kapilárach, ak celková plocha prierezov kapilár je 2000 cm2 (každá kapilára má priemer » 8×10–4 cm, ale sú ich miliardy).
-
Pomocou hadice s valcovým nadstavcom máte naplniť vodou bazén známeho objemu. Viete odhadnúť čas nato potrebný, ak máte k dispozícii iba meter na meranie dĺžky?
-
Z trubice ponorenej do vody čerpáme vzduch, pričom hladina vody stúpne nad vypúšťací kohútik. Bude kohútikom vytekať voda, keď ho otvoríme? (obr. 5.2.1)
-
Pri umiestnení stolnotenisovej loptičky do prúdu vzduchu od ventilátora sa bude loptička vznášať (obr. 5.2.2). Prečo?
-
V podpalubí lode vznikol otvor, cez ktorý vteká do lode voda. Vysvetlite, prečo na priloženie dosky k otvoru je potrebná oveľa väčšia sila ako potom na jej pridržiavanie na otvore.
-
Akú počiatočnú rýchlosť má vytekajúca voda z otvoru, ktorý sa nachádza na dne vodnej nádrže, keď je nádrž naplnená vodou do výšky 4,6 m?
-
Vysvetlite, prečo kondenzované mlieko z konzervy vyteká oveľa lepšie, keď urobíte v konzerve dva otvory, a to na protiľahlých podstavách konzervy.
-
Voda v ústrednom kúrení prúdi tak, že na prízemí vstupuje do rúrky s priemerom 4 cm s rýchlosťou 0,5 m.s–1 pod tlakom 3.105 Pa. Aká bude jej rýchlosť a tlak v rúrke s priemerom 2,6 cm na druhom poschodí, ktoré sa nachádza o 5 m vyššie?
-
Vysvetlite na základe Bernoulliho rovnice hydrodynamický paradox, teda zmenšenie tlaku s rastúcou rýchlosťou prúdenia kvapaliny.
-
Vysvetlite princíp činnosti vodnej vývevy a mechanického rozprašovača!
-
Do každej ruky vezmite hárok papiera a držte ich zvislo niekoľko centimetrov od seba. Čo sa stane ak budete do priestoru medzi nimi fúkať, opíšte a vysvetlite pohyb papierov.
-
Keď vás predbieha veľkou rýchlosťou idúce auto, alebo keď stojíte na nástupišti a prechádza okolo vás vlak s veľkou rýchlosťou, v obidvoch prípadoch vás to priťahuje k rýchlo sa pohybujúcemu dopravnému prostriedku. Vysvetlite prečo!
-
Dve lode plaviace sa na mori blízo vedľa seba rovnakým smerom sa môžu ľahko zraziť. Vysvetlite, prečo?
-
Trubicou, ktorá má zúženú časť, preteká voda so vzduchovými bublinkami. V ktorej časti trubice budú mať bublinky väčší priemer a prečo?
Príklady
1. V bočnej stene nádoby, ležiacej na stole, sa nachádza malý otvor vo výške h1 odo dna nádoby a vo vzdialenosti h2 pod hladinou vody, ktorá sa udržiava na konštantnej výške. Do akej vzdialenosti od steny nádoby strieka voda, ak: a) h1 = 25 cm, h2 = 16 cm,b) h1 =16 cm, h2 = 25 cm? (a) 40 cm; b) 40 cm)2. Valcová nádoba má v stene nad sebou dva otvory vo výškach h1, h2 odo dna. V akej výške musí byť udržiavaná hladina tekutiny nad dnom nádoby, aby striekala z obidvoch otvorov do rovnakej vzdialenosti na vodorovnú rovinu, na ktorej nádoba stojí? (h = h1+h2)3. Aký musí byť polomer vzduchovodu kúrenia, aby sa vzduch v izbe objemu 300 m3 úplne obnovoval každých 15 minút? Rýchlosť pohybu vzduchu vo vzduchovode je 3 m×s–1 a hustota vzduchu je konštantná. (18,8 cm)4. Ako dlho bude trvať naplnenie bazénu vodou, ak rozmery bazénu sú (10 x 20 x 3) m3? Voda priteká hadicou priemeru 2 cm a rýchlosťou 3 m×s–1. (176,8 h)5. Na dne valcovej nádoby je otvor priemeru d = 2 cm. Do nádoby priteká voda s objemovým tokom Q = 2 ℓ×s–1. V akej výške sa ustáli hladina vody a aký je tlak na dno nádoby? (2,1 m; 2×104Pa)6. V horizontálnom potrubí prúdi kvapalina. Keď do potrubia zhora umiestnime trubicu zalomenú do pravého uhla a priamu trubicu rovnakého prierezu, rozdiel hladín v týchto trubiciach bude Dh = 10 cm. Určte rýchlosť prúdenia kvapaliny v potrubí! (1,4 m×s-1)7. Nosné krídlo v aerodynamickom tuneli je vystavené vzdušnému prúdu rýchlosti
v1 = 40 m×s–1. V jednom mieste krídla bol nameraný podtlak 2942 Pa. Aká je rýchlosť v2 vzduchu v tomto mieste? (78,5 m×s-1)8. Aký výkon vyvíja ľudské srdce, keď pri každom údere ľavá predsieň vytlačí do aorty 70 g krvi pod tlakom p = 26 kPa? Tep je 75 úderov za minútu. (2,17 W)9. Vodorovne uložená injekčná striekačka má priemer piesta D = 1 cm a priemer výtokového otvoru d = 1 mm. Akou rýchlosťou a ako dlho bude otvorom vytekať voda ak objem striekačky je 20 ml a sila pôsobiaca na piest je F = 2 N? (7,1 m×s-1; 3,6 s)10. Vodorovným potrubím prúdi rovnomerne voda. Tlak v potrubí je 3.104 Pa, priemer potrubia je D = 0,5 m. Tlaky v hlavnom potrubí a v zúženej časti sa líšia o Dp = 1.104 Pa. Aký je priemer, rýchlosť a tlak vody v zúženej časti potrubia, ak prietok je Q = 500 ℓ.s–1? (0,35 m; 5,1 m×s-1; 2×104 Pa)