Majme trubicu polomeru R, v ktorej laminárne prúdi kvapalina dynamickej viskozity h. Rýchlosť kvapaliny na stenách potrubia je nulová a narastá do maximálnej hodnoty v strede potrubia. Hľadáme závislosť narastania rýchlosti so vzdialenosťou od stredu trubice t.j. rýchlostný profil prúdenia  v(r).

 

Predstavme si v prúdiacej kvapaline objem tvaru valca s polomerom r a dĺžkou l (obr.5.3.2.1)

 

 

Pri stacionárnom prúdení sú rýchlosti vo všetkých bodoch konštantné (zrýchlenie a = 0), a teda aj súčet síl pôsobiacich na ľubovoľný objem kvapaliny sa musí rovnať nule. Zvoľme smer prúdenia v osi x. Pre vodorovnú trubicu je zložka objemovej tiažovej sily v smere prúdenia nulová. Musí preto platiť:  F_p + F_v  =  0 , kde tlaková sila  F_p = Dp S = Dp p r²   a trecia sila od viskozity kvapaliny:

 

    

kde t je tangenciálne napätie úmerné dynamickej viskozite kvapaliny a gradientu rýchlosti,  S* je povrch plášťa valca polomeru r a dĺžky l. Dosadením do rovnice pre rovnováhu síl
 F_p i+ F_v (–i) = 0 dostaneme:

 

        (5.3.2.1)

 

Separáciou premenných a integráciou tejto rovnice:

 

        (5.3.2.2)

 

dostaneme závislosť rýchlosti od premennej r:

 

        (5.3.2.3)

 

Elementárny tok plôškou  dS = 2p r dr  je  Q = v dS . Pre celkový prietok trubicou dostaneme integráciou cez celý prierez trubice Hagenov–Poisseuillov zákon:

 

        (5.3.2.4)

 

Vidíme, že prietok je priamo úmerný rozdielu tlakov, nepriamo viskozite a dĺžke potrubia, ale veľmi významne (R⁴ !) závisí od polomeru potrubia.

 

 

Vodorovným potrubím prúdi reálna kvapalina s dynamickou viskozitou  h = 0,8 Pa×s. Meraním sa zistilo, že trubicou s priemerom  d = 5 mm a dĺžkou l = 1 m pretieklo laminárnym prúdením celkove množstvo V = 0,06 ℓ za 1 minútu. Vypočítajte rozdiel tlakov na koncoch trubice a rýchlosť kvapaliny v osi trubice (obr.5.3.2.1).

 

Pre celkový prietok trubicou dostaneme z Hagenovho –Poisseuillovho zákona (5.3.2.4):

 

 

pričom 

 

 

Rozdiel tlakov na koncoch trubice je:

 

 

Rýchlosť kvapaliny podľa rovnice (5.3.2.3), v osi trubice  (pre r = 0), bude:

 

 

Hagenov – Poiseuillov zákon môžeme vyjadriť aj v inom tvare a to pomocou strednej rýchlosti prúdenia. Potom prietok

 

 

Po dosadení do (5.3.2.4) a úprave dostávame:

 

 

Ak vynásobíme túto rovnicu prierezom potrubia a jeho dĺžkou získame silu, ktorá spôsobuje  v potrubí pohyb kvapaliny danou strednou rýchlosťou:

 

        (5.3.2.5)

 

Nakoľko ide o  rovnovážny stav, rovnako veľký je aj trecí odpor potrubia.

Iný dôležitý vzťah odvodil Stokes pre odpor kvapaliny proti pohybu guľôčky s polomerom R. Táto sila odporu je tiež priamo úmerná rýchlosti,  polomeru guľôčky  a viskozite kvapaliny. Tento vzťah voláme Stokesov zákon:

 

F_S = 6phR v        (5.3.2.6)

 

Experimenty ukazujú, že platí  iba za podmienky:  

 

 

 

Pri turbulentnom prúdení, t.j. pri väčších rýchlostiach platí pre odpor prostredia Newtonov vzťah:

 

 

kde C je tvarový faktor, S je priečny prierez telesa.