Rozklad kmitov, harmonická analýza
Opakom skladania kmitov rovnakého smeru je rozklad kmitov na násobky základnej frekvencie – Fourierova analýza. Fourierova analýza má veľký praktický význam, a to hlavne v oblasti analýzy zvukov, spracovania impulzných signálov, ako aj v moderných spektroskopických prístrojoch.
Podľa Fourierovej vety každú periodickú funkciu s periódou T a s konečným počtom nespojitostí možno vyjadriť v tvare
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv155.gif)
kde w = 2p/T a konštanty A0, Ak, Bl sú určené rovnicami
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv156.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv157.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv158.gif)
Platnosť týchto vzťahov si ľahko overíme ak využijeme vzťahy známe z integrálneho počtu a to
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv159.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv160.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv161.gif)
Ak budeme integrovať rovnicu (6.1.9.1) v intervale <0, T>, všetky členy okrem A0 na pravej strane tejto rovnice vypadnú a dostávame tvrdenie (6.1.9.2). Ak rovnicu (6.1.9.1) vynásobíme cos(kw t) a integrujeme v rovnakom intervale vypadnú všetky členy v ktorých vystupuje funkcia sin a nenulový bude iba člen pri Ak, z čoho priamo vyplýva tvrdenie (6.1.9.3). Rovnicu (6.1.9.4) dostávame analogicky, ak (6.1.9.1) vynásobíme sin(lw t) a integrujeme v intervale <0, T>. Čím väčší počet členov v rozvoji (6.1.9.1) zoberieme do úvahy, tým presnejšie reprodukujeme pomocou harmonických funkcií periodickú funkciu f(t).
Príklad 6.1.24
Rozložte jednotkovú periodickú funkciu f(t), znázornenú na obr.6.1.17 do harmonických zložiek.
Riešenie
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv162.gif)
Matematicky vyjadríme danú funkciu nasledovne:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv163.gif)
Pre funkciu f(t) platí:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv164.gif)
Hľadáme amplitúdy A0, Ak, Bk:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv165.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv166.gif)
Pre nepárne hodnoty k = 1, 3, 5, 7, ... dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv167.gif)
pre párne = 2, 4, 6, ... je B k = 0.
Hľadaný rozvoj funkcie bude mať tvar:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv168.gif)