Stojaté vlnenie
Stojaté vlnenie je jav, ktorý vzniká vtedy, keď sa skladajú dve vlnenia s rovnakou amplitúdou a frekvenciou postupujúce proti sebe. Majme dve lineárne polarizované harmonické vlny rovnakej frekvencie, amplitúdy a postupujúce proti sebe v osi x. Začiatok súradníc si zvoľme v bode v ktorom sa obidve vlny stretajú s rovnakou fázou. Vlneniam odpovedajú vlnové funkcie
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv211.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv212.gif)
Podľa princípu superpozície výsledné vlnenie bude určené funkciou
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv213.gif)
Vlnová funkcia sa rozpadla na súčin dvoch harmonických funkcií. Nemá tvar 6.2.2.9, preto nepopisuje postupujúce vlnenie, ale, ako uvidíme ďalej, tzv. stojaté vlnenie.
V tomto vyjadrení stavu, ktorý vznikol interferenciou proti sebe postupujúcich vlnení, amplitúdu výsledného vlnenia určuje funkcia |2uocos kx|. Amplitúda závisí od polohy kmitajúceho bodu. Výsledné vlnenie bude mať nulovú amplitúdu v miestach, v ktorých cos kx = 0, t.j. vo všetkých bodoch, pre ktoré platí kx = (2n + 1) p/2, alebo po dosadení za k = 2p/l sú to miesta, pre ktoré platí
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv214.gif)
Tieto miesta nazývame uzly. Vzdialenosť dvoch susedných uzlov je
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv215.gif)
teda polovica vlnovej dĺžky. S maximálnou výchylkou budú kmitať body, v ktorých cos kx = ±1. Pre tieto miesta kx = np, alebo
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv216.gif)
Tieto miesta nazývame kmitne. Vzdialenosť dvoch susedných kmitní
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv218.gif)
a tiež sa rovná polovici vlnovej dĺžky.
Na rozdiel od postupujúceho vlnenia, pri ktorom všetky body prostredia kmitajú s rovnakou amplitúdou ale s rôznou fázou, pri stojatom vlnení je fáza kmitov všetkých bodov prostredia medzi dvoma uzlami rovnaká a pri prechode uzlom sa mení na opačnú. Každý bod prostredia však kmitá s určitou amplitúdou, ktorá závisí od jeho polohy a je určená funkciou 2uo| cos kx | . V uzloch sú výchylky vždy nulové, v kmitniach vždy maximálne. V určitom čase, keď cos w t v (6.2.5.2.3) sa rovná nule, je výchylka všetkých bodov prostredia nulová. Ak cos w t = ±1, majú všetky body svoje maximálne výchylky, ktorých amplitúda sa rovná 2 uo| cos kx | . Priebeh stojatého vlnenia je na obr. 6.2.6.
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv219.gif)
Stojaté vlnenie vznikne, ak ohraničený rad bodov, pružné vlákno, strunu rozkmitáme na obidvoch koncoch, alebo ak rozkmitáme jeden jej koniec a druhý je upevnený. Na upevnenom konci nastane odraz vlnenia a odrazená vlna postupuje proti pôvodnej vlne a s ňou interferuje.
Pri odraze vlnenia rozlišujeme odraz na voľnom konci a odraz na pevnom konci. Pri odraze na voľnom konci je v mieste odrazu kmitňa a vlnenie sa odráža na voľnom konci s rovnakou fázou. Pri odraze na pevnom konci je v mieste odrazu uzol a vlnenie sa odráža s opačnou fázou.
Pri stojatom vlnení nemáme postupujúce čelo vlny, ako pri vlne šíriacej sa napr. po pružnom vlákne. Niekedy sa preto tiež používa možno výstižnejší termín pre stojaté vlnenie a to „chvenie“. V ohraničenom prostredí, ktorým je napr. napnutá husľová struna nemôže vzniknúť stojaté vlnenie ľubovoľnej frekvencie. Rýchlosť šírenia sa vlnenia je určená vlastnosťami struny a jej napnutím vzťahom (6.2.3.7). Možné budú iba také vlnové dĺžky a teda aj frekvencie, pre ktoré sú na koncoch struny uzly. Dĺžka struny sa preto musí rovnať násobku l / 2.
Príklad 6.2.5
Stojaté vlnenie vzniklo interferenciou dvoch proti sebe postupujúcich vlnení s frekvenciou f = 475 Hz. Vzdialenosť susedných uzlov bola d = 1,5 m. Určte rýchlosť postupu vlnenia v danom prostredí.
Riešenie
Vzdialenosť susedných uzlov stojatého vlnenia sa rovná polovici vlnovej dĺžky vlnení, ktorých interferenciou stojaté vlnenie vzniklo. Preto d = l/2 , z čoho l = 2d. Rýchlosť postupu vlnenia je v = f l = f 2 d =475.2.1,5 m.s-1 = 1425 m.s-1.
Príklad 6.2.6
Po strune sa proti sebe z dvoch zdrojov šíria rovnakou rýchlosťou n dve harmonické vlnenia a vzájomne interferujú. Zdroje majú rovnakú amplitúdu A, rovnakú uhlovú frekvenciu w a kmitajú vo fáze. Prvý zdroj je umiestnený v počiatku súradnicovej sústavy x = 0, jeho kmitanie vyjadruje funkcia kosínus s fázovou konštantou j1 . Druhý zdroj sa nachádza v polohe x = d , kde d > 0 .
(a) Nájdite vlnovú funkciu pohybu struny v oblasti medzi zdrojmi.
(b) Určte polohy kmitní a uzlov.
Riešenie
(a) Vlnové rovnice interferujúcich vlnení sú:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv220.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv221.gif)
Zdroje sú stále vo fáze, ich výchylky sú v každom okamihu rovnaké, takže platí u1(t,0) = u2(t,0). Pre argumenty vlnových funkcií potom
kde n je ľubovoľné celé číslo, ktoré môžeme zvoliť rovné nule a j2 = – kd + j1 .Vlnové rovnice interferujúcich vlnení sú teda:
Vlnová funkcia výsledného vlnenia, ktoré vzniká ich skladaním, je u = u1 + u2 .
S využitím známeho trigonometrického vzťahu
dostávame
čo je vlnová funkcia stojatého vlnenia s polohovo závislou amplitúdou
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv226.gif)
Zo vzťahu pre fázovú rýchlosť n= w/k môžeme v týchto výrazoch nahradiť uhlové vlnové číslo k výrazom k = w/n čím dostávame
a
Kmitne sú miesta s najväčšou amplitúdou Avýsl(x) , čomu zodpovedá argument funkcie kosínus
kde n je celé číslo. Z tejto podmienky vyplýva, že
Kmitne sú všetky body vyhovujúce tejto podmienke a súčasne podmienke 0 £ x £ d, ktorá vystihuje fakt, že stojaté vlnenie vzniká iba v oblasti medzi zdrojmi.
Uzly sú miesta s nulovou amplitúdou a Avýsl(x) = 0. Funkcia kosínus bude nulová ak
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv231.gif)
pričom súčasne musí platiť 0 £ x £ d .
Príklad 6.2.7
Vodorovný pružný drôt má jeden koniec pevný. Druhý koniec prechádza pevnou kladkou a je na ňom tesne pod kladkou zavesené závažie s hmotnosťou M = 5 kg. Vzdialenosť medzi pevným koncom a kladkou je l = 3 m, hmotnosť tohto úseku drôtu je m = 100 g. Určte možné frekvencie kmitania drôtu.
Riešenie
Na drôte sa môže ustáliť iba také kmitanie (stojaté vlnenie), ktoré má na pevných koncoch drôtu uzly(obr. 6.2.7).
Z obr.6.2.7 pre možné vlnové dĺžky vyplýva podmienka l = n l /2 , kde n je celé číslo. Vlnová dĺžka súvisí s frekvenciou podľa vzťahu n= lf, kde fázová rýchlosť n je určená napínacou silou F = Mg a dĺžkovou hustotou struny s = m/l.
Platí
Preto
odkiaľ
Dosadením do rovnice pre možné vlnové dĺžky dostávame podmienku
z ktorej pre možné frekvencie kmitania drôtu vyplýva
Základná frekvencia (pre n = 1 ) je f1 = 6,39 Hz, vyššie harmonické (pre n = 2, 3,...) sú f2 = 12,8Hz, f3 = 19,2 Hz ,...