Rozdelenie častíc plynu podľa veľkosti voľnej dráhy
Príklad 7.1.6.2
Nájdite rozdelenie častíc plynu podľa veľkosti voľnej dráhy.
Riešenie
Nájdeme počet častíc plynu, ktoré majú voľné dráhy v rozmedzí x a (x + dx). Na dráhe s jednotkovou veľkosťou sa častica zrazí s inými časticami
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/pt310.gif)
krát a na dĺžke dx vykoná
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/pt311.gif)
zrážok. Predstavme si, že N častíc letí pozdĺž osi x. Na dráhe dx vykonajú tieto častice
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/pt312.gif)
zrážok. Pri každej zrážke jedna z častíc ubudne z počtu tých častíc, ktoré ešte nevykonali zrážku. Potom dôsledkom zrážok je -dN úbytok z tých častíc, ktoré letia bez zrážky. Tento úbytok sa rovná počtu zrážok, ktoré vykoná časť dN z N častíc na úseku dx
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/pt313.gif)
t.j. počet častíc, ktoré vykonali zrážku je priamo úmerný počtu letiacich častíc N. Z rovnice (a) dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/pt314.gif)
odkiaľ po integrovaní
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/pt315.gif)
Konštantu c nájdeme z podmienky, že v mieste x = 0 je N0 častíc. Po dosadení tejto podmienky do poslednej rovnice dostaneme c = ln N0. Rovnicu môžeme napísať ako
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/pt316.gif)
alebo po úprave
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/pt317.gif)
N je počet častíc, ktoré preletia dráhu x bez zrážok. Časť z týchto častíc (ich počet sa rovná dN) sa zrazí na priľahlom úseku dx. Ich počet udáva vzťah (a). Po dosadení (b) dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/pt318.gif)
Vzťah (c) predstavuje počet častíc, ktoré bez zrážok prejdú dráhu dĺžky x a zrazia sa vo vzdialenosti x + dx od počiatku. Začiatok osi x si môžeme zvoliť ľubovoľne.
Zistíme ešte koľko častíc prejde vzdialenosť
. Po dosadení do (b) dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/pt319.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/pt320.gif)
t.j. len približne tretina častíc prejde bez zrážok túto, alebo väčšiu vzdialenosť.