Zložky súradnice vektoraZložky súradnice vektora

Rozklad vektora na zložky je opačná operácia ako súčet vektorov. V rovine možno vektor rozložiť na dve zložky, t.j. na dva vektory do vopred určených smerov. Sčítaním zložiek vznikne pôvodný vektor. Na  obr. 1.1.4.1  je znázornený rozklad vektora  a do smerov naznačených dvomi priamkami. Uskutočňuje sa tak, že priamky, do smerov ktorých treba vektor rozložiť, vedieme koncovým aj začiatočným bodom vektora. Tak vznikne rovnobežník, na ktorom už jednoducho vyznačíme  zložky  p  a  q .
 
 
V  priamkach, do ktorých rozkladáme vektor a , môžeme zvoliť jednotkové vektory, ktoré označíme  e1  a  e2 .  Jednotkovými vektormi sú potom určené príslušné smery. Zložky p  a  q   vyjadríme ako skalárne násobky vektorov  e1  a  e2  :   p  =  ape1  ,   q  = aqe2 . Vektor  e1 však môže mať opačný smer ako zložka  p ,  a vtedy skalár   ap  pred vektorom  e1  musí byť záporný. Preto skalár  ap  nepredstavuje veľkosť vektora  p,  ale je jednou zo súradníc rozloženého vektora  a  vo vzťažnej sústave určenej vektormi e1  a  e2  .  Vektor  a možno po takomto rozklade na zložky vyjadriť v tvare
 
a  =  p + q  =    apeaqe2        (1.1.4.1)
                     
O takomto vyjadrení hovoríme, že vektor  a  je lineárnou kombináciou vektorov  e1  a  e2  .
 
V trojrozmernom priestore musí byť vzťažná sústava určená tromi vektormi  e1 ,  e2  a  e3   o ktorých hovoríme, že tvoria jej bázu . Vo všeobecnosti to ani nemusia byť jednotkové vektory.  Najčastejšie sa však používa rozklad do troch navzájom kolmých smerov, určených jednotkovými vektormi so zaužívaným označením  ijk . Stotožňujú sa s osami  x, y, z   karteziánskej súradnicovej sústavy. Ľubovoľný vektor  f možno pomocou takejto trojice jednotkových vektorov vyjadriť ako ich lineárnu kombináciu
 
 f  =  fx i + fy+ fz k        (1.1.4.2)       
 
V tomto vyjadrení vektora  f  sú  fx  ,  fy  fz   jeho súradnice, ktoré môžu byť kladné, i záporné podľa toho, aký je jeho smer vzhľadom na jednotkové vektory.  Na obr. 1.1.4.2  je znázornený dvojrozmerný prípad, pričom vektor  g  má zápornú súradnicu  gx , ostatné súradnice vektorov  f  a  g  sú kladné.
 
 
Veľkosť vektora  f  možno v karteziánskej súradnicovej sústave  vyjadriť pomocou jeho súradníc, použitím Pythagorovej vety
 
        (1.1.4.3)  
 
 Vektor  f  zviera s vektormi  i ,  j ,  k   smerové uhly   a , b , g ,  pre ktoré platia vzťahy
 
        (1.1.4.4)     
 
ktoré si možno overiť na dvojrozmernom obrázku  1.1.4.2.
Zo vzťahov  (1.1.4.4) pre kosínusy smerových uhlov (smerové kosínusy)  bezprostredne vyplýva rovnosť
 
cos2a  +  cos2b  + cos2g  = 1        (1.1.4.5)
 
Súčet vektorov a  skalárny násobok vektora možno výhodne počítať, keď vektory vyjadríme v zložkovom tvare. Napríklad ak  a = ax i + ay j + az k ,   b = bx i + by j + bz k   potom môžeme ich súčet uskutočniť po zložkách, na základe platnosti komutatívnosti a asociatívnosti sčítania vektorov :
  
a + b =  (  ax+ bx) i  +  (ay + by) j  + (az + bz ) k        (1.1.4.6)
 
takže pre súradnice výsledného vektora  c   platí
   
c( ax+ bx)  ,   cy  =   (ay + by) ,    cz  =  (az + bz )        (1.1.4.7)
 
Pre skalárny násobok vektora vyjadreného v zložkách platí:
 
d  = sas ( ax i + ay j + az k ) =  sax i + say j + saz k
 
pričom pre jeho súradnice platí   
dx = sax,  dy = say,  dz = saz        (1.1.4.8)
 
 
Príklad  1.1.4.1  
Vypočítajte súčet vektorov  a =  3 i + 2 j  -  k   a   b =  -i + 2 j -  2 k  .
 
Riešenie  
c =  a + b =  (3 - 1)i + (2 + 2)j  + (-1 -2)k  =   2 i + 4j  -  3k , takže súradnice vektora  c  sú: cx =  2 ,  cy =  4 ,  cz =  -3
 
Príklad  1.1.4.2
Vyjadrite vektor  d, ktorý  má  trojnásobnú  veľkosť  a opačný smer ako vektor    a =  3 i + 2 j  -  k 
 
Riešenie  
d  =  (-3)a  =  (-3)(3 i + 2 j  -  k )  =  -9 i  - 6 j  + 3k  . Presvedčite sa , že veľkosť vektora  d  je naozaj trojnásobná v porovnaní s veľkosťou vektora  a.
 
 
Kontrolné otázky
  1. Ako rozkladáme vektor (v rovine) do dvoch vopred zadaných smerov ?
  2. Možno vektor rozložiť do dvoch smerov, ktoré zvierajú uhol väčší než  90 o ?
  3. Uveďte čo rozumieme pod lineárnou kombináciou vektorov !
  4. Uveďte, čo je báza vektorov !
  5. Ako sa vypočíta veľkosť vektora, keď sú známe jeho súradnice ?
  6. Ako sa zmenia zložky vektora, keď ho vynásobíme skalárom ?
  7. Ako sa zmenia súradnice vektora, keď ho vynásobíme skalárom ?
  8. Vyjadrite súčet dvoch vektorov pomocou ich súradníc !
  9. Uveďte, ako vypočítate uhol ktorý vektor zviera s osou  y,  keď poznáte jeho súradnice !