Základné kinematické pojmy, hmotný stred sústavyZákladné kinematické pojmy, hmotný stred sústavy

Zaviedli sme si pojem hmotný bod, pod ktorým rozumieme skúmaný objekt, ktorý má z hľadiska vzájomného pôsobenia s inými objektmi všetky vlastnosti skúmaného telesa, avšak neuvažujeme jeho geometrické rozmery.
Konečný počet hmotných bodov, určitým spôsobom vymedzených voči okoliu,  ktoré skúmame  ako celok a pritom všetky jednotlivé hmotné objekty patriace do sústavy považujeme za hmotné body, nazveme sústavou hmotných bodov. Ich počet závisí od riešenej problematiky. Za sústavu hmotných bodov možno považovať napr. každé makroskopické teleso, alebo vymedzenú sústavu telies.
 
Uvažujme n hmotných bodov  o hmotnostiach m1, m2, ....., mn. Poloha týchto hmotných bodov v karteziánskej súradnicovej sústave nech je určená polohovými vektormi, r1, r2 , ...     , rn. Vzájomnú polohu dvoch hmotných bodov o hmotnostiach mi a mj udáva vektor  rij = rj –ri  (obr. 3.1.1.1).
 
 
Ak smery i veľkosti rij (i=1,2,..., n) sa môžu ľubovoľne meniť, hovoríme o úplne voľných (neviazaných) hmotných bodoch. Ak sú všetky vzájomné vzdialenosti rij konštantné, danú sústavu nazývame dokonale tuhou. Existujúce telesá, skladajúce sa z molekúl, resp. z iónov, môžeme považovať za sústavu blížiacu sa k jednému z obidvoch krajných prípadov. Ako aplikáciu prvého stavu, môžeme uviesť ideálny plyn. Druhý príklad možno demonštrovať dokonale tuhou látkou.  Častejšie sa stretávame s pojmom dokonale tuhé teleso - teleso, ktorého tvar sa pôsobením vonkajších síl nemení. Tejto problematike sa venujeme vo štvrtej kapitole.
Pri skúmaní pohybu sústavy hmotných bodov je výhodné zaviesť pojem hmotný stred resp. ťažisko.  Názov ťažisko, je zaužívaný v spojení s telesom.  Ťažisko telesa je bod, ktorým prechádza výslednica všetkých tiažových síl, ktoré pôsobia na hmotné body, z ktorých pozostáva teleso, pri jeho ľubovoľnej polohe v priestore.
V prípade sústavy hmotných bodov, ktoré nevytvárajú kompaktné teleso, je  vhodnejšie zaviesť hmotný stred  sústavy, t.j.  bod, v ktorom  má pôsobisko výslednica všetkých tiažových síl, ktoré pôsobia na hmotné body, z ktorých  sústava hmotných bodov pozostáva, pri ich  ľubovoľnej polohe v priestore.
 
Poznámka
V homogénnom gravitačnom poli je hmotný stred sústavy hmotných bodov totožný s ťažiskom. Naše ďalšie úvahy sa budú týkať práve takéhoto poľa,  preto v ďalšom texte budú  pojmy  hmotný stred a ťažisko synonymá.
 
Pre dva hmotné body je  hmotný stred  bod,  ležiaci na ich spojnici, deliaci túto spojnicu v nepriamom pomere hmotností bodov . Na obrázku 3.1.1.2 sú znázornené hmotné body s hmotnosťami  m1  a  m2 , nachádzajúce sa v polohách, ktorým priradíme súradnice  x1   a   x2  . Súradnica hmotného stredu je označená symbolom  xT  . Na základe definície platí úmera.
 
 
        (3.1.1.1)
 
Pre súradnicu hmotného stredu platí 
 
xT = x1 + p1 =  x1 + p2 (m2/m1) =  x1 + (x2 - xT) (m2/m1)
 
Z tejto rovnice vyjadríme  xT  ako funkciu súradníc  x1   a  x2:
 
 
 
 
V trojrozmernom priestore získame analogické vzorce pre ďalšie dve súradnice hmotného stredu     
 
                     
 
Spojením týchto výsledkov získame vzťah pre polohový vektor ťažiska dvoch hmotných bodov :
 
(3.1.1.2)
 
                                                        (3.1.1.3)
 
respektíve v tvare
 
 
kde celková hmotnosť sústavy častíc M je daná súčtom hmotností jednotlivých častíc, ktoré sú identifikované indexom i. Index i nadobúda všetky celé čísla od 1 do n .
 
(3.1.1.4)
 
Vo zvolenej karteziánskej súradnicovej sústave má polohový vektor rT  hmotného stredu súradnice  rT = [xT , yT, zT], pre ktoré platí
 
,        ,                (3.1.1.5)
 
kde xi, yi, zi  sú karteziánske súradnice i-teho bodu umiestneného v trojrozmernom priestore.
 
Hmotný stred je geometrický bod. Jeho poloha vzhľadom na jednotlivé hmotné body danej sústavy nezávisí na voľbe súradnicovej  sústavy.  Nemusí byť však totožná s polohou niektorého hmotného  bodu sústavy.
 
Pohyb hmotného stredu  často skúmame vzhľadom na sústavu pevne spojenú s hmotným stredom, ktorú nazývame vzťažnou sústavou hmotného stredu. Vzťažná sústava hmotného stredu resp. ťažisková vzťažná sústava, je sústava, ktorej začiatok O je umiestnený do hmotného stredu sústavy hmotných bodov. Vzťažná sústava hmotného stredu je vo všeobecnosti neinerciálna vzťažná sústava. Ak sa však hmotný stred  vzhľadom na ľubovolnú inerciálnu sústavu pohybuje  konštantnou  rýchlosťou   (vT = konšt.), je vzťažná sústava hmotného stredu  sústavou inerciálnou.
 
Počet nezávislých súradníc, ktoré jednoznačne určujú polohu sústavy hmotných bodov vzhľadom na vzťažný bod, je určený  počtom stupňov voľnosti sústavy hmotných bodov. Z kinematiky  hmotného bodu vieme, že na určenie polohy jedného hmotného bodu sú  potrebné tri nezávislé súradnice. Hovoríme, že  voľný hmotný bod má tri stupne voľnosti. Ak sústavu hmotných bodov tvorí n hmotných bodov, ktoré sa môžu voči sebe voľne pohybovať,  sústava má 3n stupňov voľnosti.  Ak pohyb sústavy je určitým spôsobom obmedzený, hovoríme,  že sústava je podrobená väzbám, ktoré obmedzujú počet stupňov voľnosti danej sústavy. Ak počet väzieb je v, počet stupňov voľnosti je 3n – v.
 
 
Príklad  3.1.1.1
Pozdĺž osi  x  sa pohybuje častica s hmotnosťou  m1  tak, že platí  x1 = xo - v1 t  , a pozdĺž osi  y  častica s hmotnosťou  m2  tak, že  platí  y = at2/2  - v2t . Vypočítajte polohu a rýchlosť ťažiska týchto dvoch častíc ako funkcie času.
 
Riešenie
        a) Súradnice ťažiska vypočítame podľa vzorcov  (3.1.1.3):
 
Zložením týchto vzorcov dostaneme polohový vektor ťažiska, ako sa mení s časom  rT = xT  i + yT  j .
        b) Zapíšeme vektor rýchlosti ťažiska v zložkovom tvare:
 
vT  = vT x i + vT y j ,
pričom platí    vT x = (d xT /dt) ,    vT y =(d yT /dt) . Po derivovaní dostávame
 
vT x  =  (- m1v1 ) / ( m1 + m2 ) ,  vT y  =  [m2 .(at  - v2) ] / ( m1 + m2 ). 
 
Veľkosť rýchlosti ťažiska získame ako odmocninu zo súčtu štvorcov súradníc vektora rýchlosti:
 
 
 
Príklad  3.1.1.2
Chlapec drží v rukách dva kamene o hmotnostiach m1 a m2  (m1 > m2 ),  ktoré sú vo vzdialenosti d od seba a vo výške h  nad zemským povrchom. Určite:
a) súradnice ťažiska sústavy  skladajúcej sa z dvoch kameňov,
b) časovú závislosť polohy ťažiska pri voľnom páde tejto sústavy súčasne, 
c) časovú závislosť rýchlosti ťažiska, ak obidva kamene pustíme súčasne,
d) súradnice ťažiska sústavy v  okamihu t1  od vypustenia prvého kameňa, ak druhý kameň pustil chlapec z ruky  s časovým oneskorením D t, e) veľkosť rýchlosti  ťažiska sústavy v  okamihu t1  od vypustenia prvého kameňa, ak druhý kameň pustil chlapec z ruky  s časovým oneskorením D t .
 
Riešenie
Na obrázku sú zakreslené kamene, ktoré sme umiestnili do bodu A resp. B. Zvoľme si  súradnicovú sústavu  tak,  že bod A leží na  y - ovej osi,  t.j. A = [0, h ] ,  B =  [d, h ] . Ťažisko sústavy leží medzi bodmi A a B bližšie ku  kameňu  s väčšou  hmotnosťou  vo výške  y.
 
 
a)  Súradnice  ťažiska sústavy hmotných bodov  sú určené rovnicami (3.1.1.3) a pre dva hmotné body platí
b) Vyjadrime si časovú závislosť súradníc jednotlivých kameňov v prípade, že chlapec púšťa obidva kamene súčasne v okamihu t0 = 0.
 
Pre časovú závislosť súradníc  ťažiska  platí:
 
 
c) Vyjadrime časovú závislosť rýchlosti ťažiska, ak obidva kamene chlapec pustí súčasne:
        
 
d) Určime súradnice ťažiska sústavy v  okamihu t1  od vypustenia prvého kameňa, ak druhý kameň pustil chlapec z ruky  s časovým oneskorením D t : Nech chlapec pustí ako prvý kameň umiestnený v polohe A. Pre jeho polohu v okamihu t1 platí
Súradnice druhého  kameňa,  vypusteného o Dt neskôr po prvom kameni,  v okamihu t1 sú:
 
Nakoľko x – ové súradnice jednotlivých kameňov nie sú funkciou času,  nebude ani x-ová súradnica funkciou času . Súradnice ťažiska v okamihu t1
 
 
 
e) Vyjadrime   veľkosť  rýchlosti ťažiska  v okamihu t1: V každom časovom okamihu x-ová zložka rýchlosti ťažiska je nulová, t.j. vxT (t1) = 0 a platí
 
 
 
 

Príklad 3.1.1.3

Z homogénneho kartónu vystrihneme  dva útvary A a B,  zobrazené  na obrázku. Určite:

a) polohu ťažiska jednotlivých útvarov A a B,

b) polohu ťažiska výsledného útvaru, ktorý vznikne spojením, A a B, tak že útvary priložíme k sebe        stranami  s veľkosťou b.  

Riešenie
a) Napriek tomu, že sa jedná o výpočet ťažiska telesa, môžeme využiť skutočnosť, že jednotlivé útvary
 
                                           
nahradíme ich ťažiskami a ťažisko útvaru vzniknutého  spojením útvarov určíme zo vzťahu (3.1.1.3) pre ťažisko sústavy hmotných bodov.
 
Určíme si najprv polohu ťažiska útvaru A , resp. B. vo zvolenej súradnicovej sústave. Jednou z možností voľby súradnicovej sústavy ukazuje obr. 3.1.1.4 a.  y- ova os spadá do osi útvaru A,  takže x-ová súradnica ťažiska útvaru A leží na tejto osi,  t.j. xTA = O. Z obrázku  vidieť, že útvar A sa skladá z dvoch častí - A1 obdĺžnika so stranami 2r a b, ktorý ma na obidvoch koncoch vyrezaný polkruh o polomere r, a A2  kruh s polomerom  r.  Každý z útvarov A1 a A2 možno nahradiť hmotným stredom, v ktorom je sústredená celková hmotnosť m1 , resp.  m2. Zo symetrie zvolených útvarov pre polohu ťažiska vo zvolenej súradnicovej sústave platí:   xT1 = xT2 = 0 ,   yT1  = b/2 ,  yT2  = b, pričom hmotnosť jednotlivých objektov si vyjadríme pomocou ich plošnej hustoty s  a plochy útvarov  vzťahmi:  m1 = s S1   a   m2  = s S2, kde S1 = 2r b - pr2  ,  S2 =  pr2. Pretože obidve x-ové súradnice sú nulové, bude aj x-ová súradnica ťažiska útvaru A nulová, t.j. xTA  = 0. Pre y-ovú súradnicu platí
 
 
 
 
 
Určíme polohu ťažiska rovnostranného trojuholníka, ktorý si orientujeme tak, ako ho  priložíme k útvaru A, ako je znázornené na obr. 3.1.1.4 b, vzhľadom na súradnicovú os y prechádzajúcou stranou b. Ťažisko bude ležať v jednej tretine výšky v od základne , t.j:
 
 
 
 
b) Určime ťažisko útvaru vzniknutého spojením útvarov A a B  pri orientácii znázornenej na obr. 3.1.1.4 c, vzhľadom na  súradnicovú sústavu prechádzajúcu  osou útvaru A, v ktorej súradnice
 
 
 
 
 

Kontrolné otázky

  1. Definujte sústavu hmotných bodov.
  2. Určite koľko stupňov voľnosti má hmotný bod pohybujúci sa na guľovej ploche. Uveďte  príklad takéhoto pohybu.
  3. Definujte hmotný stred  sústavy hmotných bodov .
  4. Určite polohu hmotného  stredu  sústavy troch častíc s rovnakými hmotnosťami, umiestnenými vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka so stranou a.
  5. Vysvetlite súvis symetrie telesa s polohou jeho ťažiska. Uveďte príklady.
  6. Závisí poloha ťažiska sústavy hmotných bodov od zvolenej  súradnicovej sústavy?
  7. Zvážte koľko existuje možností vytvorenia výsledného objektu zložením  dvoch objektov A a B z  príkladu (3.1.1.4 ). Zmení sa poloha ťažiska?
  8. Zapíšte vzťah pre  polohu hmotného stredu sústavy hmotných bodov nachádzajúcich sa v rovine xz.