Príklady
Príklad 1
Dva voľné hmotné body A a B s hmotnosťami m1 a m2 sú v rovnomernom pohybe. V čase t = 0 je vzdialenosť bodov AB = d. Rýchlosť v2 bodu B má smer spojnice AB a rýchlosť v1 bodu A je na ňu kolmá. Nájdite rovnicu dráhy a rýchlosť ťažiska tejto sústavy hmotných bodov. Aký pohyb vykonáva ťažisko?
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt130.gif)
Riešenie
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt139.gif)
Súradnice ťažiska sú
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt140.gif)
Vylúčime čas t, čo znamená, že z rovnice pre x-ovu súradnicu ťažiska vyjadríme čas t a dosadíme do rovnice pre y-ovu súradnicu. Po úprave dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt141.gif)
čo je rovnica priamky.
Nájdeme rýchlosť ťažiska. Z definície
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt142.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt144.gif)
Príklad 2
Nájdite polohu ťažiska útvaru znázorneného na obr.1, ktorý vznikol tak, že sa z obdĺžnika so stranami a, b vyrezal na jednej jeho strane polkruh polomeru b/2 a priložil sa na druhú stranu obdĺžnika!
Riešenie
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt145.gif)
Ak k nášmu útvaru (obr.1) priložíme kruh, dostaneme žltý útvar, ktorý je znázornený na obr.2. T je ťažisko nášho útvaru, Tk je ťažisko kruhu, T1 je ťažisko žltého útvaru.
x-ová súradnica ťažiska žltého útvaru je
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt146.gif)
kde mk je hmotnosť kruhu, m je hmotnosť nášho útvaru, x* je x-ová súradnica ťažiska nášho útvaru.
Nech σ je plošná hustota (hmotnosť pripadajúca na jednotku plochy), potom
m= σ ab
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt147.gif)
dosadíme do rovnice (1), uvážime, že xT1=0 a dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt148.gif)
po úprave vypočítame x-ovú súradnicu ťažiska, ktorá je
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt149.gif)
Príklad 3
Vypočítajte moment zotrvačnosti tenkého drôtu hmotnosti m zohnutého do tvaru kružnice polomeru R vzhľadom na os kolmú na rovinu, v ktorej leží kružnica a prechádzajúcu stredom kružnice.
Riešenie
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt131.gif)
Príklad 4
Vypočítajte moment zotrvačnoti homogénnej tyče prierezu S0, dĺžky l a hmotnosti m vzhľadom na os kolmú na dĺžku tyče a prechádzajúcu a) koncovým bodom tyče, b) ťažiskom tyče!
Riešenie
Riešenie a)
Pre moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os O (obr.1) možno písať
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt151.gif)
kde hmotný element dm je valec, ktorého podstava je So a výška je dx (obr.1)
Nech ρ je hustota tyče (hmotnosť pripadajúca na jednotku objemu), potom hmotný element
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt152.gif)
dosadíme do rovnice (1) a dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt153.gif)
hustotu ρ sme vyjadrili v tvare
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt154.gif)
Riešenie b)
Pri riešení využijeme Steinerovu vetu
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt155.gif)
kde J* je moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os O* prechádzajúcou stredom tyče, teda ťažiskom. Z rovnice (2) vyjadríme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt156.gif)
Príklad 5
Vypočítajte moment zotrvačnosti homogénneho plného valca hmotnosti m , polomeru R, výšky h vzhľadom na rotačnú os totožnú s jeho osou symetrie. Zvážte, od čoho nezávisí.
Riešenie
J =
.
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt132.gif)
Príklad 6
Tenký drôt hmotnosti m je zohnutý do tvaru kružnice polomeru R a uložený v tiažovom poli na vodorovnú os. Po malom vychýlení z rovnovážnej polohy ho voľne pustíme. Vypočítajte dobu kyvu a redukovanú dĺžku tohto kyvadla !(Riešte pre hodnoty R=4,9cm, g = 9,8 m.s-2).Riešenie
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt157.gif)
Drôt predstavuje fyzikálne kyvadlo. Pre dobu kyvu fyzikálneho kyvadla platí
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt158.gif)
Moment zotrvačnosti drôtu vzhľadom na os prechádzajúcu ťažiskom je
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt159.gif)
Podľa Steinerovej vety je moment zotrvačnosti vzhľadom na os O (obr.1) nasledovný
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt160.gif)
Po dosadení do rovnice (1) dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt161.gif)
Dĺžka matematického kyvadla, ktorého doba kyvu Tmat sa rovná dobe kyvu fyzikálneho kyvadla Tfyz sa nazýva redukovaná dĺžka lr. Pre uvedené doby kyvu platí
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt162.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt163.gif)
Z rovnosti rovníc (2) a (3) dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt164.gif)
a odtiaľ
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt165.gif)
Príklad 7
Zotrvačníkové koleso, ktoré má spolu s hriadeľom moment zotrvačnosti vzhľadom na os otáčania J, otáča sa tak, že vykonáva N otáčok za minútu. V okamihu, keď prestanú pôsobiť vonkajšie sily svojím otáčavým momentom, koleso sa zastaví počas doby tz. Za predpokladu, že trecie sily sú konštantné, vypočítajte ich moment vzhľadom na os! (Riešte pre hodnoty
)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt133.gif)
Riešenie
Trecie sily sú konštantné, preto sa koleso bude otáčať rovnomerne spomalene, pre takýto pohyb platí
ω= ωo-ε t (1)
Vypočítame uhlové spomalenie ε. V čase zastavenia tz sa uhlová rýchlosť ω=0, dosadíme do rovnice (1), dostaneme
0= ωo-ε tz,
odtiaľ
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt166.gif)
Moment síl trenia vzhľadom na os Mν vypočítame z pohybovej rovnice rotácie telesa okolo pevnej osi
Mν=J ε (3)
Po dosadení (2) do (3) dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt167.gif)
Príklad 8
Homogénna kruhová doska je uložená na vodorovnej osi prechádzajúcej jej stredom a kolmej na rovinu dosky. Na obvode je navinuté lanko, ktoré ťaháme silou Fo kolmou na os, v dôsledku čoho sa dá doska do otáčavého pohybu. Vypočítajte uhlovú rýchlosť a kinetickú energiu dosky po čase t od začiatku pôsobenia sily ! Hmotnosť dosky je m a polomer R. (Riešte pre hodnoty m = 20 kg, R = 0,5 m, t = 2 s, Fo =9.81N)Riešenie
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt168.gif)
Pohybová rovnica telesa rotujúceho okolo pevnej osi je
Mν=J ε. (1)
Moment sily vzhľadom na os Mν vypočítame z definície
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt169.gif)
význam vektorov je zakreslený na obr.1,
veľkosť momentu sily v našom prípade je
Mν=RFo (2)
Pohyb je rovnomerne zrýchlený, preto platí
ω= ε t (3)
Rovnicu (1) možno zapísať
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt170.gif)
odtiaľ
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt171.gif)
využili sme poznatok, že moment zotrvačnosti kruhovej dosky okolo osi kolmej na dosku a prechádzajúcej jej ťažiskom je
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt172.gif)
Teleso koná rotačný pohyb, jeho kinetická energia je
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt173.gif)
Príklad 9
Homogénna tyč všade rovnakého prierezu, hmotnosti m, dĺžky l voľne visí na vodorovnej osi prechádzajúcej jej koncovým bodom O. Akú minimálnu rýchlosť treba udeliť voľnému koncovému bodu tyče v horizontálnom smere, aby sa dostala do najvyššej možnej polohy ? (Trenie zanedbávame.) (Riešte pre hodnoty l = 1 m, m = 2,5 kg !)Riešenie
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt174.gif)
Obr.1
Tyč koná rotačný pohyb.
Úlohu riešime zákonom zachovania mechanickej energie.
Energiu tyče v dolnej polohe označme Wd, energiu v hornej polohe Wh.
Platí
Wd=Wh (1)
Energia v dolnej polohe je
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt175.gif)
kde J je moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os O (obr.1), potenciálnu energiu v ťažisku sme volili rovnú nule.
Energia v hornej polohe je
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt176.gif)
kinetická energia je nulová, lebo teleso stojí, potenciálna energia sa rovná zmene potenciálnej energie ťažiska.
Dosadíme do rovnice (1)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt177.gif)
kde J=1/3 ml2 (pozri príklad č.4), ω = v/l. Dosadíme do rovnice (2), po úprave dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt178.gif)
Príklad 10
Valec sa valí po naklonenej rovine, ktorá zviera s vodorovnou rovinou uhol α. Polomer valca je R a hmotnosť m. a) Vypočítajte rýchosť jeho ťažiska v* po prebehnutí dráhy s, keď valec bol voľne pustený. Polomer valca je R a hmotnosť m. b) Porovnajte vypočítanú hodnotu s rýchlosťou, ktorú by malo ťažisko, keby sa valec len šmýkal po dokonale hladkej podložke.
Riešenie
a) ![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt134.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt134.gif)
b) ![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt135.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt135.gif)
Príklad 11
Vypočítajte kinetickú energiu homogénnej gule rotujúcej okolo priemeru s konštantným uhlovým zrýchlením e v čase t od začiatku pohybu ! Hmotnosť gule je m a polomer R.( Riešte pre hodnoty
t = 10 s, m = 1,5 kg, R = 5 cm )
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt136.gif)
Riešenie
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt137.gif)
Príklad 12
Homogénna kruhová doska polomeru R sa nachádza vo vertikálnej rovine a môže sa otáčať okolo vodorovnej osi kolmej na dosku a vzdialenej od stredu dosky x. Dosku vychýlime z rovnovážnej polohy do polohy, v ktorej je stred dosky vo výške osi a potom ju voľne pustíme. Vypočítajtea) začiatočné uhlové zrýchlenie dosky
b) uhlovú rýchlosť pri prechode rovnovážnou polohou
(Trenie na osi zanedbávajte !)
Riešenie
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt138.gif)