Netlmený harmonický kmitavý pohyb
Uvažujme sústavu, ktorú tvorí ideálna pružina na ktorej je upevnené teleso (hmotný bod) hmotnosti m podľa obr. 6.1.1. V tejto časti a aj v nasledujúcich častiach budeme používať termín teleso len pre názornosť, pri pohybe sa bude chovať ako hmotný bod. Budeme predpokladať, že pre deformáciu pružiny (predĺženie, alebo stlačenie) platí Hookov zákon a deformácia pružiny je priamo úmerná pôsobiacej sile. Budeme ďalej predpokladať, že podložka je ideálna a to v tom zmysle, že proti pohybu v horizontálnom smere nepôsobí žiadna sila trenia.
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv001.gif)
Nech sa teleso pri nedeformovanej pružine nachádza v počiatku súradnicovej osi . V tejto polohe na teleso v smere súradnicovej osi nebude pôsobiť žiadna sila a takúto polohu voláme rovnovážna poloha. Ak ho posunieme o vzdialenosť x, pružinu tým natiahneme a na teleso bude pôsobiť sila v opačnom smere, ako sme pružinu deformovali. Zložku tejto sily v smere osi x vyjadruje rovnica F = – kx, kde k > 0. Takúto silu voláme návratná sila a konštanta k je silová konštanta /tiež tuhosť pružiny/. Ak teleso uvolníme, sila mu udelí zrýchlenie a potenciálna energia natiahnutej pružiny sa premení na kinetickú energiu telesa. Po prechode rovnovážnou polohou teleso začne pružinu stláčať. Kinetická energia sa premení na potenciálnu energiu stlačenej pružiny, situácia sa opakuje a teleso začne vykonávať periodický pohyb po priamke. Takáto sústava predstavuje lineárny harmonický oscilátor. Ukážeme totiž, že výchylka x z rovnovážnej polohy je harmonickou funkciou času a teda tento lineárny oscilátor je harmonický.
Pohybová rovnica pohybu telesa má tvar
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv002.gif)
Prepíšme ju do tvaru
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv003.gif)
a zaveďme substitúciu w02= k/m. Dostávame rovnicu
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv004.gif)
Rovnica (6.1.2.3) je lineárna diferenciálna rovnica 2. poriadku.
Riešenie rovnice hľadáme v tvare
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv005.gif)
Po dosadení a úprave dostávame charakteristickú rovnicu
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv006.gif)
z ktorej vyplývajú komplexne združené korene l1 = iw0 a l2 = –iw0. Z teórie lineárnych diferenciálnych rovníc vyplýva, že ak rovnici vyhovujú dve riešenia, riešením je aj ich lineárna kombinácia a všeobecné riešenie pohybovej rovnice pre pohyb za pôsobenia návratnej sily má tvar
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv007.gif)
Z matematiky vieme, že C1 a C2 sú vo všeobecnosti združené komplexné čísla. Výchylka x je však reálne číslo. Využijeme eij = cosj + i.sinj a zavedieme substitúcie C1+ C2 = A0 cosj, i(C1– C2) = –A0 sinj.
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv008.gif)
Po vykonaní elementárnych úprav dostávame reálny tvar všeobecného riešenia pohybovej rovnice pre harmonický oscilátor
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv009.gif)
kde x predstavuje okamžitú výchylku v čase t, A0 je maximálna výchylka alebo aj amplitúda kmitov, argument (w0t + j) je fáza kmitu a j je fázová konštanta. Fázová konštanta je fáza v čase t = 0. Obidve konštanty A0 a j vyplývajú z počiatočných podmienok, ktorými sú obyčajne výchylka a rýchlosť v čase t = 0. Časový priebeh harmonického kmitania je na obr. 6.1.2.
Nájdime teraz fyzikálny význam konštanty w0. Zväčšime čas v rovnici (6.1.2.7) o 2p/w0. Dostávame
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv010.gif)
Časový interval T0 rovný 2p /w0 je doba, za ktorú sa výchylka opakuje, teda je to perióda kmitov. Platí
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv011.gif)
Frekvencia kmitov f0 je počet kmitov za časovú jednotku
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv012.gif)
odkiaľ
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv013.gif)
Všimnite si, že frekvencia kmitania nijako nezávisí na tom, ako veľmi sme pružinu natiahli a teda aká veľká je amplitúda kmitov. Závisí len od hmotnosti kmitajúceho telesa a silovej konštanty pružiny. Veličinu w0 nazývame uhlová frekvencia (tiež kruhová frekvencia) pohybu; jej jednotka v sústave SI je radián za sekundu, fyzikálny rozmer je s–1.
Riešenie rovnice (6.1.2.2) môžeme rovnako dobre vyjadriť aj v tvare x = A0 sin (w0t+j´). Pri daných počiatočných podmienkach sa pritom len zmení hodnota fázovej konštanty o p/2.
Vyjadrime teraz rýchlosť a zrýchlenie telesa. Pre rýchlosť dostávame
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv014.gif)
a pre zrýchlenie
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv015.gif)
Vidíme, že rýchlosť predbieha výchylku vo fáze o p/2 a zrýchlenie predbieha výchylku vo fáze o p.
Uviedli sme už, že konštanty A0 a j pre každý konkrétny prípad harmonického pohybu môžeme určiť z počiatočných podmienok. Objasníme si to na nasledujúcom príklade.
Príklad 6.1.1
Vypočítajte amplitúdu a fázovú konštantu netlmeného harmonického pohybu hmotného bodu po priamke, ak v čase t = 0 s má okamžitú výchylku xo = x(0) = 0,03 m a rýchlosť vo = v(0) = 0,4 m.s–1 a frekvencia kmitov je f0 = 1 s–1.
Riešenie
Pre okamžitú výchylku a rýchlosť v ľubovoľnom čase platí x = A cos(w0 t + j),
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv016.gif)
V čase t = 0 s dostaneme: xo = A0 cos j , vo = – A0 2 pf0 sinj .
Rovnice upravíme do tvaru
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv017.gif)
Umocnením a sčítaním rovníc dostávame pre amplitúdu
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv018.gif)
Vzájomným delením týchto rovníc dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv019.gif)
Pre fázovú konštantu j platí: j 1 = 115,2° , resp . j 2 = 295,2°.
Príklad 6.1.2
Teleso hmotnosti m je upevnené medzi dvoma pružinami, ktoré majú silové konštanty k1 a k2 a nachádza sa medzi nimi v rovnovážnej polohe. Vypočítajte periódu kmitov telesa, keď voľné konce pružín sú upevnené podľa obr. 6.1.3.
Riešenie
Pri vychýlení telesa z rovnovážnej polohy budú naň pôsobiť návratné sily F1 = – k1 x , F2 = – k2 x , kde x je výchylka z rovnovážnej polohy. Musíme si uvedomiť, že smer síl od obidvoch pružín je rovnaký. Ak napríklad teleso vychýlime z rovnovážnej polohy do prava, pravú pružinu stláčame, ľavú naťahujeme. Výsledná sila F = – k x sa rovná súčtu týchto síl.
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv020.gif)
F = F1 + F 2 = – (k 1+ k2) x , – k x = – (k1+ k2) x. Odtiaľ pre výslednú silovú konštantu pružín platí: k = (k1+ k2).
Pre uhlovú frekvenciu kmitavého pohybu a pre jeho periódu dostaneme:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv021.gif)