Energia harmonického oscilátora
Pri kmitavom pohybe dochádza k periodickým zmenám kinetickej a potenciálnej energie. Celková mechanická energia v izolovanej sústave, v ktorej pôsobí iba konzervatívna sila, musí byť konštantná. V miestach s maximálnou výchylkou je rýchlosť nulová a celková mechanická energia sa rovná potenciálnej energii, pre ktorú platí:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv022.gif)
Rovnakú hodnotu celkovej energie dostaneme, ak budeme vychádzať z kinetickej energie. Pri prechode kmitajúceho hmotného bodu rovnovážnou polohou je potenciálna energia nulová a po dosadení maximálnej hodnoty rýchlosti z (6.1.2.12) do výrazu pre kinetickú energiu dostávame
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv023.gif)
Okamžité hodnoty kinetickej a potenciálnej energie sú vyjadrené rovnicami
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv024.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv025.gif)
Ľahko sa môžeme presvedčiť, že súčet okamžitých hodnôt kinetickej a potenciálnej energie harmonického oscilátora nezávisí na čase.
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv026.gif)
Celková mechanická energia netlmeného harmonického oscilátora je konštantná a je priamo úmerná silovej konštante a štvorcu amplitúdy kmitov.
Príklad 6.1.3
Amplitúda netlmeného harmonického pohybu hmotného bodu je A0 = 0,02 m a celková energia kmitov EC = 3.10–7 J. Vypočítajte, pri akej výchylke pôsobí na hmotný bod návratná sila veľkosti F = 2,25.10–5 N.
Riešenie
Pre návratnú silu pri netlmenom harmonickom pohybe platí: F = – k x , kde výchylka x je daná vzťahom x = A0 cos (w t + j), pričom platí:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv027.gif)
Celková energia netlmeného harmonického pohybu je súčet kinetickej a potenciálnej energie. Pri odvodzovaní rovnice (6.1.3.5) sme si ukázali, že celková energia sa rovná Ec = ½ k A02 . Pre konštantu návratnej sily odtiaľ dostaneme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv028.gif)
Dosadením do výrazu pre návratnú silu, dostaneme pre hľadanú výchylku
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv029.gif)
Príklad 6.1.4
Pri akej výchylke harmonického oscilátora sa bude jeho kinetická energia rovnať potenciálnej? Čomu sa rovná stredná kinetická a stredná potenciálna energia harmonického oscilátora za jednu periódu?
Riešenie
Kinetická energia harmonického oscilátora je:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv030.gif)
a jeho potenciálna energia je:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv031.gif)
Má platiť Ek = Ep, teda
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv032.gif)
Riešením tejto trigonometrickej rovnice dostaneme tg (ω t + j) = 1, odkiaľ (ω t + j) = p/4 . Výchylka harmonického oscilátora je daná vzťahom: x = A0 cos (ω t + j) . Po dosadení fázy dostaneme:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv033.gif)
Pri takejto hodnote výchylky sa bude okamžitá kinetická energia rovnať okamžitej potenciálnej energii.
Stredná hodnota kinetickej energie je určená integrálom
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv034.gif)
a stredná hodnota potenciálnej energie za jednu periódu integrálom
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv035.gif)
Vidíme, že stredná hodnota kinetickej energie a stredná hodnota potenciálnej energie harmonického oscilátora sú rovnaké. Ich súčet sa rovná celkovej energii harmonického oscilátora.