Skladanie kolmých kmitov
Pri skladaní kmitov rôzneho smeru sa uplatňuje rovnako ako v predchádzajúcom prípade princíp superpozície. Výsledné kmitanie bude vektorovým súčtom dielčích kmitov. Nech hmotný bod môže konať kmitavé pohyby v osi x a v osi y. Zvoľme si počiatok času tak, aby fázová konštanta jedného z pohybov bola nulová a ukážeme si skladanie kolmých kmitov na príklade skladania kmitov rovnakej frekvencie, rôznej amplitúdy a fázy. Pre dielčie kmity platí:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv132.gif)
Tieto rovnice sú parametrickými rovnicami trajektórie, po ktorej sa hmotný bod bude pohybovať. Jej tvar bude závisieť od amplitúd jednotlivých kmitov a rozdielu fáz. Rovnicu trajektórie y = f(x) nájdeme vylúčením času. Z prvej rovnice máme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv133.gif)
Použijeme súčtový vzorec pre funkciu cos(wt +j), do ktorého dosadíme predchádzajúce vzťahy a po elementárnych matematických úpravách dostávame
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv134.gif)
Z analytickej geometrie vieme, že posledná rovnica predstavuje všeobecný tvar rovnice elipsy. Nájdime tvar trajektórie pre niektoré špeciálne prípady.
a) Nech j = 0. Potom
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv135.gif)
a trajektória je rovnicou priamky. Kmitajúci bod sa pohybuje po priamke prechádzajúcej počiatkom súradníc a jeho vzdialenosť od počiatku je
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv136.gif)
Výsledný pohyb je pohyb po priamke s frekvenciou w .
b) Nech fázový rozdiel je j = ± p. Rovnica (6.1.8.3.2) má v takomto prípade tvar
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv137.gif)
a pohyb sa koná po priamke zobrazenej na obr. 6.1.14.
c) Nech fázový rozdiel je j = ± p/2. Rovnica (6.1.8.3.2) prechádza na rovnicu elipsy, ktorej poloosi majú veľkosti A a B. (Obr. 6.1.14)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv138.gif)
Pohyb sa bude konať v smere hodinových ručičiek, ak j = +p/2, resp. proti smeru otáčania hodinových ručičiek, ak j = –p/2.
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv139.gif)
Ak frekvencie skladaných kolmých kmitov nie sú rovnaké a ak pomer ich frekvencií sa dá vyjadriť ako podiel prirodzených čísel, výsledný pohyb sa koná po krivkách, ktoré nazývame Lissajousove krivky. Príklad Lissajousových kriviek je na obr. 6.1.15.
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv140.gif)
Príklad 6.1.26
Dva jednosmerné kmitavé pohyby s rovnakou periódou a s amplitúdami A1 = 0,03 m a A2 = 0,05 m sa skladajú do výsledného pohybu s amplitúdou A = 0,07 m. Vypočítajte rozdiel fáz oboch pohybov.
Riešenie
Okamžité výchylky jednotlivých kmitavých pohybov sú:
x1 = A1 cos(wt + a 1), x2 = A2 cos(wt + a2)
Máme nájsť fázový rozdiel, t. j. D = (wt + a 1)– (wt + a 2) = a 1 –a2.
Podľa princípu superpozície pre výsledné kmitanie platí:
x = x1+ x2 = A1 cosw t cos a 1 – A1 sinw t sina 1 + A2 cosw t cos a 2 – A2 sinw t sina 2
x = cosw t (A1cos a 1 + A2cos a 2) – sinw t (A1 sina 1 + A2 sina 2) = A cos(w t + a ),
kde sme zaviedli substitúcie:A sina = A1 sina 1 + A2 sina 2 , A cosa = A1 cosa 1 + A2 cosa 2.
Umocnením týchto rovníc a ich sčítaním dostaneme:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv141.gif)
Odtiaľ vyjadríme rozdiel fáz obidvoch pohybov:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv142.gif)
Poznámka
Kmity rovnakej frekvencie sme v časti (6.1.8.1) skladali pomocou vektorového zobrazenia kmitavého pohybu. Alternatívou, ako sme mohli vidieť v tomto riešení je využiť pri skladaní takýchto kmitov trigonometrické vzťahy.
Príklad 6.1.27
Dva harmonické pohyby rovnakého smeru, rovnakej amplitúdy a fázovej konštanty s periódami T1 = 0,0046 s a T2 = 0,0045 s sa skladajú do výsledného pohybu. Nájdite periódu výsledného kmitavého pohybu a periódu rázov.
Riešenie
Okamžité výchylky skladaných pohybov sú:
x1 = A cos(w1 t + a ), x2 = A cos(w2 t + a )
V časti (6.1.8.2) sme si ukázali, že okamžitú výchylku výsledného pohybu dostaneme na základe princípu superpozície:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv143.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv144.gif)
kde A(t) je časovo závislá funkcia, ktorej absolútna hodnota určuje amplitúdu výsledného kmitania a priebeh tejto funkcie bude vplývať tiež na fázu výsledného kmitania. Uhlová frekvencia výsledného pohybu je:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv145.gif)
Potom perióda výsledného pohybu:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv146.gif)
Perióda rázov je určená vzťahom (6.1.8.2.6) a rovná sa
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv147.gif)
Príklad 6.1.28
Nájdite dráhu výsledného pohybu, ktorý vznikne pri skladaní dvoch navzájom kolmých harmonických kmitavých pohybov s amplitúdami A1 = 0,03 m , A2 = 0,04 m, s rovnakými periódami, keď rozdiel fáz oboch pohybov je j = p /2.
Riešenie
Kmitavé pohyby v dvoch navzájom kolmých smeroch x, y môžeme popísať rovnicami:
x = A1 cos(wt + a1 ), y = A 2 cos(w t + a2) ,
pričom rozdiel fáz Da = (w t + a1 ) – (w t + a2) = (a1 –a2) = p /2.
Potom x = A1 cos(w t + a2 + p /2) = – A 1 sin(w t + a2) .
Upravme teraz pôvodné rovnice do tvaru:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv148.gif)
Rovnice umocníme, sčítame a dostávame
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv149.gif)
čo je rovnica elipsy s hlavnými osami v smeroch x a y. V našom prípade bude mať tvar:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/kv150.gif)
Dráha výsledného pohybu je elipsa.
Kontrolné otázky
-
Podľa akého princípu nájdeme výsledné kmitanie pri skladaní viacerých kmitavých pohybov?
-
Kedy hovoríme o kmitoch, že sú vo fáze, a kedy je ich fáza opačná?
-
Môže nastať pri skladaní kmitov rovnakého smeru stav, že sa kmity navzájom rušia? Aké podmienky by pri tom museli spĺňať dielčie kmity?
-
Pri skladaní akých kmitov dochádza k vzniku rázov?
-
Aká je frekvencia rázov?
-
Dve husľové struny kmitajúce s rovnakou amplitúdou vydávajú tóny s frekvenciami f1 = 440 Hz, f2 = 436 Hz. Aká je frekvencia, ktorú počuje pozorovateľ? Koľko rázov počuje pozorovateľ za sekundu?
-
Ako voláme krivky, ktoré vzniknú pri skladaní kolmých kmitov rôznych frekvencií?
-
Uvažujte dva kmity: x1 = A sin(w t) , x2 = A sin(w t +p/2). Zložením týchto dvoch kmitov vznikne kmitanie. Aká bude jeho výsledná amplitúda a fázový posun? Výsledok určite využitím vektorového zobrazenia kmitavých pohybov.
-
Dva navzájom kolmé harmonické kmity : x = 3 sin w t, y = 4 sin w t, (cm, s) sa skladajú do výsledného kmitania. Aká bude jeho amplitúda? Obr. 6.1.16
-
Uvažujte skladanie dvoch navzájom kolmých harmonických kmitov s rovnakými amplitúdami a uhlovými frekvenciami. Aký musí byť fázový rozdiel a medzi skladanými kmitmi, aby vzniklo výsledné harmonické kmitanie v priamke podľa obr. 6.1.16 (a), (b)?
-
Uvažujte skladanie dvoch navzájom kolmých harmonických kmitov s rôznymi amplitúdami a rovnakými uhlovými frekvenciami. Aký musí byť fázový rozdiel a medzi skladanými kmitmi, aby výsledné harmonické kmitanie bolo eliptické?
-
Uvažujte skladanie dvoch navzájom kolmých harmonických kmitov s rovnakými amplitúdami a uhlovými frekvenciami. Aký musí byť fázový rozdiel a medzi skladanými kmitmi, aby výsledný pohyb bol po kružnici?
Príklady
6.2.29 Dva jednosmerné kmitavé pohyby s rovnakými amplitúdami aj periódami sa skladajú do výsledného pohybu s nezmenenou amplitúdou a periódou. Vypočítajte rozdiel fáz medzi kmitavými pohybmi.
6.2.30 Dva harmonické kmitavé pohyby s frekvenciami f1 = 40 s–1 a f 2 = 45 s–1 sa skladajú do výsledného pohybu. Vypočítajte frekvenciu rázov, keď amplitúdy ako aj fázové konštanty obidvoch pohybov sú rovnaké.
6.2.31 Vypočítajte celkovú energiu hmotného bodu s hmotnosťou m = 0,01 kg, keď koná dva navzájom kolmé kmitavé pohyby s amplitúdami A1 = 0,03 m, A2 = 0,04 m, s rovnakými frekvenciami f 1 = f 2 = f = 5 s–1 a tiež s rovnakými fázovými konštantami. Určte krivku, po ktorej sa pohybuje hmotný bod.