Informácie

Hľadanie

Planckov zákon vyžarovaniaPlanckov zákon vyžarovania

Problematikou vyžarovania absolútne čierneho telesa sa zaoberal Max Planck. Pri odstraňovaní nesúladu teoreticky odvodenej krivky vyžarovania, určenej Rayleighovým a Jeansovým zákonom Max Planc vychádzal:

· z predpokladu, že ekvipartičná teoréma platí len pre spojité rozdelenie možných energií;

· pripustil hypotézu, že energia elektromagnetickej vlny s frekvenciou f sa nevyžaruje z povrchu telesa spojite , ale je v skutočnosti kvantovaná v jednotkách hf , kde Planckova konštanta h = 6,624 . 10-34 J.s .

Na základe týchto predstáv kvantovej fyziky odvodil Max Planck tvar spektra absolútne čierneho telesa, t.j. Planckov zákon vyžarovania pre spektrálnu hustotu intenzity vyžarovania v dutine absolútne čierneho telesa nasledovným postupom:

· zvážil, že predpoklady z ktorých vychádzali Rayleigh a Jeans pri odvodzovaní spektrálnej hustoty intenzity Ml (l,T) dl v jednotkovom objeme dutiny v intervale vlnových dĺžok l al + dl boli správne až po určenie skutočného počtu stojatých vĺn v dutine. Usúdil, že I. a II. veta termodynamická platí i pre javy spojené s elektromagnetickým žiarením;

· na základe kvantovej hypotézy, prisúdil mikrooscilátoru (kmitajúcemu atómu) v stene absolútne čierneho telesa energie určené vzťahom

En = n e , (1)  

= h f , (2)

kde n je celé číslo a n = 1, 2, 3, .... a kde f je frekvencia oscilácií atómov a h Planckova konštanta

· na základe predchádzajúceho predpokladu vyjadril spektrálnu hustotu intenzity Ml (l,T) dl vzťahom

Ml (l,T) dl = n (l) dl , (3)

kde skutočný počet stojatých vĺn n v dutine je určený (pozri odvodenie v hypertexte Rayleighov- Jeansov zákon - vzťah (2)

. (4)

Vypočítajme strednú hodnotu energie oscilátora s kvantovanými hodnotami energie, určenými vzťahom (1). Podľa štatistickej fyziky sústava, ktorá je v termodynamickej rovnováhe s okolím, sa s pravdepodobnosťou

, (5)

nachádza v stave s energiou E. Vo vzorci (5) k je Boltzmannova konštanta, c je normovací faktor, ktorý musíme zvoliť tak, aby

(6)

Ak sa sústava môže nachádzať v určitých diskrétnych stavoch s energiami En , potom pravdepodobnosť toho, že sústava sa bude nachádzať práve v stave s energiou En , bude

, (7)

kde v menovateli sčítame cez všetky n. Stredná hodnota energie pri (absolútnej) teplote T je daná vzťahom

. (8)

Ak dosadíme (5), (1) a (2) do rovnice (8), dostaneme

, (9)

kde t = 1/ kT. Pravú stranu rovnice (9) možno prepísať ako

. (10)

Súčet nekonečného radu v (10) nájdeme, ak si uvedomíme, že ide o nekonečný geometrický rad, pre ktorý platí:

Na základe toho dostaneme

,

odkiaľ po derivovaní vyplýva konečný výsledok pre strednú energiu kvantového oscilátora

. (11)

Výsledný vzorec pre spektrálnu hustotu intenzity vyžarovania v dutine získame po dosadení vzťahu (11) do rovnice (3), s uvážením, že platia nasledovné vzťahy:

Ml (l,T) dl = - Ml ( f ,T) df ,

Po dosadení

,

a vykrátení dostaneme Planckov zákon vyžarovania v tvare

.

Možno ukázať, že pre malé frekvencie , alebo vysoké teploty z Planckovho zákona vyplýva platnosť Rayleighovho- Jeansovho zákona.