Elektrostatické pole na osi rovnomerne nabitej kruhovej dosky

Na obr. 8.6.1.1 je znázornená kruhová doska, ktorá je rovnomerne pokrytá nábojom s plošnou hustotou s. (Môžeme si predstaviť, že náboj sa nachádza na každej strane dosky s polovičnou hustotou).

Vyberme si na doske malý plošný element dS vo vzdialenosti r od stredu dosky. Na obrázku je znázornený príspevok dE k celkovej intenzite E  na osi vo vzdialenosti a od stredu. Z kruhovej symetrie dosky je zrejmé  ( a preto počítame pole iba na osi dosky), že ku každému elementu dS existuje na protiľahlej strane dosky rovnako veľký element dS´, ktorého príspevok dE´ bude zrkadlovým obrazom príspevku dE vzhľadom na rovinu, ktorá prechádza osou dosky a je kolmá na obrázok. Z obrázku je zrejmé, že u každej takejto dvojice elementov sa zložky  kolmé na os (z) dosky vyrušia a príspevky rovnobežné s osou dosky sa algebraicky sčítajú. To znamená, že ďalej nám stačí počítať iba príspevky k poľu iba v tomto jedinom smere.

 (8.1.6.1.1)

Všetky náboje, ktoré sa nachádzajú vo vzdialenosti r od stredu dosky dávajú rovnaký príspevok dE_z. Preto môžeme plošný element dS voliť ako medzikružie s polomerom r a hrúbke dr. Plošný element dS = 2pr dr.

 Potom

 

(8.1.6.1.2)

Výsledná intenzita má jedinú nenulovú zložku v smere osi z, čiže

(8.1.6.1.3)

Keďže

tak

(8.1.6.1.4)

Zavedením substitúcie t = (a² + r²) , ( dt = 2rdr) dostaneme

 

 (8.1.6.1.5)

kde sme konštantné veličiny vyňali pred integrál. Integrovanie sa týka jednoduchej mocninnej funkcie, takže pre výsledné pole dostaneme

 =  (8.1.6.1.6)

Výsledok ku ktorému sme dospeli má však iba obmedzenú platnosť pre os dosky. Zaujímavý je však limitný prípad, keď bod pozorovania je tesne nad stredom dosky a/R -> 0 a vtedy dostávame

  (8.1.6.1.7)

Tento výsledok môžeme interpretovať aj inakšie, a to tak, že budeme považovať vzdialenosť a za konečnú, ale polomer dosky R budeme neobmedzene zväčšovať. Tým sa dostávame k abstrakcii nekonečnej nabitej roviny, pre ktorú je každá priamka kolmá na rovinu jej osou. Pripomíname, že ide o idealizáciu, v praxi sa môžu vyskytovať nabité roviny iba konečných rozmerov.

Elektrostatické pole rovnomerne nabitého nekonečne dlhého vlákna

Obr.8.1.6.2.1

Predstavme si dlhé tenké vlákno, ktoré je elektricky nabité s konštantnou dĺžkovou hustotou l. Pozri obr.8.1.6.2.1  Zaveďme si súradnicovú sústavu  x, y, z  tak, že os y je spojená s vláknom a os x pre-chádza bodom pozorovania P, ktorý je vo vzdialenosti a od nabitého vlákna. Element vlákna v bode A(0, y) s dĺžkou dy generuje príspevok dE k výslednému elektrickému poľu E. Ku každému takémuto elementu však v bode B(0,-y) existuje element dy´, ktorý generuje príspevok dE´, taký, že y-ové zložky vektorov dE a dE´sa vyrušia. Preto nám ďalej stačí počítať iba x-ové zložky jednotlivých vektorov.

   (8.1.6.2.1)

Keďže

tak dostaneme 

 (8.1.6.2.2)

V tomto prípade sa pokúsime vypočítať integrál trigonometrickou substitúciou 

Pričom

Po dosadení dostávame

 

Teda

  (8.1.6.2.3)

Výsledok, ktorý sme dostali, je zaujímavý z toho hľadiska, že výsledný vektor poľa je kolmý na nabité vlákno a jeho veľkosť klesá s prvou mocninou vzdialenosti od vlákna. Samozrejme, nekonečne dlhé nabité vlákno je iba abstrakcia. V skutočnosti existujú iba nabité vlákna konečnej dĺžky. V takom prípade  vzťah (8.1.6.2.3) platí iba v tesnej blízkosti vlákna. Vo vzdialenostiach oveľa väčších ako je dĺžka vlákna bude pole závisieť od celkového náboja na vlákne a klesať so štvorcom vzdialenosti.  

Elektrostatické pole medzi dvoma nabitými rovinami

 

Obr. 8.1.6.3.1

Doskový kondenzátor

V praxi sa často stretávame s prípadom dvoch rovinných plôch s veľkosťou S, ktoré sú nabité rovnako veľkým nábojom opačného znamienka.  Vzdialenosť medzi plochami  d je obvykle veľmi malá v porovnaní s . Takéto zariadenie predstavuje doskový kondenzátor o čom však budeme pojednávať neskôr. Tu nám ide iba o výpočet elektrického poľa. V tomto prípade môžeme využiť výsledky získané v odseku 8.1.6.1 a uplatniť princíp superpozície. Situáciu znázorňuje obr. 8.1.6.3.1. Prvá plocha je daná rovinou x  = 0 a je na nej rozložený náboj s plošnou hustotou s . Druhá plocha je daná rovinou x = d a je na nej náboj s  plošnou hustotou  - s.    Zaujímame sa o elektrické pole v okolí týchto plôch a medzi nimi. Pre polia blízko nabitej plochy použiť aproximáciu (8.1.6.1.7)  Musíme pritom rozlišovať 3 oblasti:

 

 

 

 

 

 

 

a)         x < 0,   v tejto oblasti dostávame

,                                               

a výsledné pole                                   

  (8.1.6.3.1a)

b)         0 < x < d,        v tejto oblasti platí

,                                                  

čiže

  (8.1.6.3.1b)

c)         x > d

,                                                  

a

 (8.1.6.3.1c)

Ak teda zanedbáme efekty spojené s okrajmi nabitých plôch, tak môžeme konštatovať: Elektrické polia od kladne a záporne nabitej plochy sa zvonka vyrušia. V priestore medzi dvoma plochami je homogénne elektrické pole veľkosti