Hraničné podmienky
Pri odvodení podmienok pre magnetickú indukciu B a intenzitu magnetického poľa H pri prechode cez rozhranie medzi dvomi prostrediami s rôznymi magnetickými vlastnosťami budú východiskom dva integrálne zákony magnetického poľa - Gaussova veta (10.5.1.3) a Ampérov zákon celkového prúdu (10.4.2.10).
Uvažujme, že Gaussov uzavretý povrch má tvar povrchu valca. Spodná podstava sa nachádza pod rozhraním v prostredí 1, vrchná podstava sa nachádza nad rozhraním v prostredí 2. Obe podstavy s plošným obsahom S1 = S2 = S sú rovnobežné s rozhraním a povrch plášťa s plošným obsahom Sp je na rozhranie kolmý. Nech jednotkový normálový vektor n je kolmý na rozhranie a je nasmerovaný z prostredia 1 do prostredia 2, pozri obr. 10.5.2.1.
Z Gaussovej vety pre uzavretý povrch valca Sv vyplýva
Pri posúvaní podstáv k rozhraniu (h®0) zrejme Sp®0. Ak nie je magnetická indukcia B na povrchu plášťa neobmedzene veľká, pri Sp®0 konverguje magnetický tok cez povrch plášťa k nule. V limitnom prechode Sp®0 získame
Pri integrovaní sme predpokladali, že podstavy valca sú natoľko malé, aby príslušná magnetická indukcia bola v každom bode svojej podstavy rovnaká. Z posledného vzťahu vyplýva hraničná podmienka pre magnetickú indukciu B
(10.5.2.1)
To znamená, že pri prechode z jedného prostredia do druhého sa nemení normálová súradnica (kolmá zložka) magnetickej indukcie B
(10.5.2.2)
Uvažujme teraz o uzavretej orientovanej krivke ABCDA v tvare obdĺžnika ohraničujúceho povrch s plošným obsahom S. Spodná strana sa nachádza pod rozhraním v prostredí 1, vrchná strana sa nachádza nad rozhraním v prostredí 2. Obe strany sú rovnobežné s rozhraním a majú dĺžku l1=l2=l. Bočné strany majú výšku h. Nech jednotkový vektor t leží na povrchu obdĺžnika a súčasne na rozhraní prostredí. Nech jednotkový vektor b je kolmý na povrch obdĺžnika a jeho smer je vybraný pravidlom pravej ruky vzhľadom na orientovaný obvod obdĺžnika, pozri obr. 10.5.2.2.
Z Ampérovho zákona celkového prúdu (10.4.2.10) pre uzavretý obvod lo obdĺžnika vyplýva
Pri posúvaní vodorovných strán k rozhraniu (h®0) zrejme S®0. Ak nie je časová derivácia elektrickej indukcie D v bodoch povrchu S neobmedzene veľká a taktiež ak je obmedzená intenzita magnetického poľa H na bočných stranách obdĺžnika, potom pri S®0, h®0 konvergujú Maxwellov posuvný prúd Ip cez povrch S a integrály intenzity magnetického poľa H po bočných stranách obdĺžnika k nule. V limitnom prechode S®0, h®0 získame
kde vodivostný elektrický prúd I tečie po rozhraní cez úsečku dĺžky l. Pri integrovaní sme predpokladali, že sú vodorovné strany obdĺžnika také malé, aby príslušná intenzita magnetického poľa bola v každom bode svojej strany rovnaká. Z posledného vzťahu vyplýva
(10.5.2.3)
kde jl je lineárna hustota elektrického prúdu na rozhraní, jlb je jej súradnica do smeru vektora b.
Ak po rozhraní netečie elektrický prúd (jl = 0), potom sa pri prechode z jedného prostredia do druhého nemení dotyčnicová súradnica (rovnobežná zložka) intenzity magnetického poľa H
(10.5.2.4)
Jednotkový vektor t vo vzťahu (10.5.2.3) môžeme vyjadriť ako vektorový súčin vektora b a normálového vektora n (pozri obr. 10.5.2.1), preto po dosadení do (10.5.2.3) a úprave dostaneme
Pretože posledný vzťah platí pre ľubovoľný vektor b rovnobežný s rozhraním, musí platiť hraničná podmienka pre intenzitu magnetického poľa H
(10.5.2.5)
Príklad 10.5.2.1
Vypočítajte veľkosť a smer magnetickej indukcie B2 v druhom prostredí, ak magnetická indukcia B1 v prvom prostredí zviera s normálovým vektorom na rozhranie uhol b1 = 45° a jej veľkosť je B1 = 10 mT! Prvým prostredím je vzduch, relatívna permeabilita druhého prostredia je mr2 = 10. Prostredia sú homogénne a izotropné. Po rozhraní medzi prostrediami netečie žiadny elektrický prúd.
Riešenie
Homogénne prostredie má v každom bode rovnakú permeabilitu. Ak permeabilita nezávisí od smeru magnetizácie, prostredie je izotropné. Prvým prostredím je vzduch, preto označme mr1 = 1. S využitím (10.5.2.2) a (10.5.2.4) pre pomer tangensov uhla lomu b2 a uhla dopadu b1 magnetickej indukčnej čiary pri prechode cez rozhranie, po ktorom netečie elektrický prúd, dostaneme tzv. zákon lomu magnetickej indukčnej čiary
Úpravou a dosadením vypočítame uhol b2, ktorý zviera magnetická indukcia B2 s normálovým vektorom
Z pravouhlej trigonometrie s využitím (10.5.2.2) úpravou a dosadením vypočítame veľkosť magnetickej indukcie v druhom prostredí
Magnetická indukcia B2 v druhom prostredí má veľkosť 71,07 mT a zviera uhol 84,29° s normálovým vektorom.
Kontrolné otázky
- Definujte magnetický tok a vyslovte Gaussovu vetu pre magnetický tok!
- Sú magnetické indukčné čiary vždy uzavreté?
- Postulujte 3. Maxwellovu rovnicu!
- Zakreslite magnetické indukčné čiary pre priamy prúdovodič, pre cievku s prúdom a pre trvalý magnet!
- Aké znamienko má magnetický tok vychádzajúci von časťou uzavretého povrchu?
- Prečo je 4. Maxwellova rovnica pre stacionárne magnetické pole jednoduchšia než pre nestacionárne magnetické pole?
- Ak po rozhraní dvoch rôznych magnetík tečie elektrický prúd, mení sa normálová súradnica magnetickej indukcie B alebo nie?
- Objasnite hraničnú podmienku pre intenzitu magnetického poľa H.
Úlohy
1. Vypočítajte veľkosť a smer intenzity magnetického poľa v druhom prostredí, ak intenzita magnetického poľa H1 v prvom prostredí zviera s normálovým vektorom na rozhranie uhol b1 = 45° a jej veľkosť je H1 = 10 A.m-1! Prvým prostredím je vzduch, relatívna permeabilita druhého prostredia je mr2 = 500. Prostredia sú homogénne a izotropné. Po rozhraní medzi prostrediami netečie žiadny elektrický prúd. (H2 = 0 A.m-1, b2 = 0°)
2. Vypočítajte intenzitu magnetického poľa na povrchu nekonečne dlhého priameho medeného vodiča s jednosmerným prúdom I = 2 A. Vodič sa nachádza vo vákuu. Má kruhový prierez polomeru R = 1 cm. Ako sa zmení magnetická indukcia pri prechode cez rozhranie medzi medeným vodičom (1) a vákuom (2)? Meď je diamagnetická s relatívnou permeabilitou mr1 = 0,9999904. Elektrický prúd na povrchu vodiča neuvažujte. (H=31,831 A.m-1, B1=39,9996 mT, B2=40,0000 mT)
3. Odvoďte vzťah pre magnetický tok cez povrch obdĺžnika so stranami dĺžky a, b, ak je nekonečne dlhý priamy vodič s elektrickým prúdom I uložený vedľa obdĺžnika v rovine obdĺžnika rovnobežne so stranami dĺžky a. Vzdialenosť vodiča od najbližšej strany obdĺžnika je R. Vodič aj obdĺžnik sa nachádzajú vo vákuu. (F=(m0Ia/2p).ln(1+b/R))