Maxwellova rovnica spájajúca vektory E a B

Táto rovnica vyplýva z rovníc opisujúcich elektromagnetickú indukciu. Ide o indukované elektrické napätie v uzavretej slučke (závite), na jednej strane vyjadrené pomocou Faradayovho vzorca ako derivácia magnetického toku F podľa času:

,(11.2.1.1)

na druhej strane ako krivkový integrál indukovanej intenzity elektrického poľa po uzavretej krivke:

(11.2.1.2)

Indukované elektrické napätie vyjadrené týmito dvomi spôsobmi musí byť rovnaké. Prv než porovnáme pravé strany rovníc, upravíme ich.

Pravú stranu rovnice (11.2.1.1) upravíme tak, že využijeme definíciu magnetického toku :

.

Pri tejto úprave treba komentovať zámenu totálnej derivácie magnetického toku parciálnou deriváciou vektora B . Ide o zámenu poradia derivácie a integrácie. Na ľavej strane vzťahu ide o celkovú zmenu magnetického toku cez plochu ohraničenú integračnou krivkou, pričom po zámene poradia derivácie a integrácie treba v každom bode plochy lokálne uvažovať o časovej zmene vektora magnetickej indukcie. Preto pod integrálom musí vystupovať parciálna derivácia.

Rovnicu (11.2.1.2) upravíme pomocou Stokesovej vety na plošný integrál, aby sme mohli porovnávať funkcie vystupujúce v integráloch :

.

Z rovnosti pravých strán upravených rovníc vyplýva :

.

Medze plošných integrálov sú určené integračnou krivkou, ktorá však v priestore môže byť ľubovoľná, preto na splnenie rovnosti je potrebné, aby sa rovnali funkcie v integráloch :

(11.2.1.3)

Tak sme získali tretiu Maxwellovu rovnicu, ktorá vyjadruje skutočnosť, že v časovo premennom magnetickom poli sa indukuje elektrické pole.

Do rovnice (11.2.1.3) môžeme k indukovanej intenzite E_i pridať aj intenzitu elektrostatického poľa E_s , pre ktorú platí

Z týchto vzťahov vyplýva, že rotE_s = 0 , lebo oba integrály sa vždy rovnajú nule, bez ohľadu na tvar zvolenej integračnej krivky. Preto namiesto E_i do rovnice (11.2.1.3) môžeme dosadiť

celkovú intenzitu E = E_i + E_s .

 

Kontrolné otázky

1. Vyjadrite indukované elektromotorické napätie pomocou Faradayovho zákona elektromagnetickej indukcie.
2. Vyjadrite vzťah pre indukovanú intenzitu elektrického poľa.
3. Vyjadrite elektromotorické napätie ako cirkuláciu indukovanej intenzity elektrického poľa.
4. Napíšte všeobecnú Stokesovu vetu o zámene krivkového integrálu plošným integrálom.
5. Napíšte tretiu Maxwellovu rovnicu a uveďte jej fyzikálny význam.
6. Ako by vyzerala tretia Maxwellova rovnica v stacionárnom elektromagnetickom poli ?