Po uverejnení Heisenbergovho princípu neurčitosti - mimochodom známom z optiky už dávnejšie - vo fyzikálnej obci sa rozpútala búrlivá diskusia. Tento princíp napáda samotnú podstatu deterministického ponímania sveta. V septembri roku 1927 sa v luxusnom hoteli Metropole v Bruseli schádza vtedajšia elita fyzikálneho sveta. Vybranú spoločnosť tvorí 28 pánov a jedna dáma. Cieľom ich stretnutia je urobiť poriadok v interpretácii výsledkov kvantovej mechaniky. Počas stretnutia sa do sporu (samozrejme vedeckého) dostali Niels Bohr, zástanca princípu neurčitosti a vlnovo-časticovej interpretácie (kodanská skupina fyzikov) a Albert Einstein. Napriek tomu že, vysvetlením fotoelektrického javu Albert Einstein otvoril dvere „novej fyzike", pri interpretácii pravdepodobnostnej fyziky sa stal jej najväčším odporcom. Výsledkom týždenných diskusií bolo víťazstvo kodanskej skupiny fyzikov a sformulovanie „základných postulátov kvantovej mechaniky“.

Poznámka: S nižšie uvedenými skutočnosťami, ktoré uvádzame na základe historických skutočností ako postuláty kvantovej fyziky (možno diskutovať či sú to postuláty) sme sa už v texte jednotlivo zaoberali. Cieľom tohto paragrafu je lepšie zviditeľniť vybrané skutočnosti a podať ich aplikáciu na konkrétny prípad. Pre jednoduchšie pochopenie ich uvádzame pre jednorozmerný prípad spolu s príkladom elektrónu viazaného na úsečku:

Postulát I: Fyzikálny stav častice je úplne popísaný komplexnou vlnovou funkciou Y(x,t) z určitej množiny funkcií, ktorá sa nazýva priestorom

stavov (Hilbertov priestor). Hustota pravdepodobnosti výskytu častice je daná ako

p(x,t) =Y^* (x,t) Y (x,t), (tento súčin nazývame hustota pravdepodobnosti, resp kvadrát absolútnej hodnoty komplexnej vlnovej funkcie).

Postulát II: Vlnová funkcia Y (x,t) ako aj jej prvá a druhá derivácia podľa súradnice musí byť spojitá a jednoznačná pre všetky hodnoty x.

Postulát III: Každá veličina, ktorú je možné fyzikálne pozorovať, je v kvantovej mechanike reprezentovaná hermitovským operátorom  na priestore stavov.

Postulát IV: Stredná, alebo očakávaná hodnota <A> ľubovolnej pozorovateľnej veličiny A, ktorá je reprezentovaná operátorom Â, je daná vzťahom:

.

Postulát V: Prípustným výsledkom merania veličiny A reprezentovanej operátorom  je ktorákoľvek z vlastných hodnôt K_n operátora Â.

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Postulát VI: Evolúcia stavu je opísaná časovou Schrödingerovou rovnicou (13.4.2.15).

Príklad 13.4.4.1 Uvažujme jednoduchý prípad, keď je elektrón viazaný na interval dĺžky L. (Tento prípad zodpovedá prípadu jednorozmernej nekonečne hlbokej potenciálovej jame.) Stav elektrónu (v istom okamihu) predpíšeme vlnovou funkciou:

kde: čas je parameter a vo vlnovej funkcii explicitne nevystupuje. Overte typ funkcie aplikovaním postulátov, nakoľko je tento tvar správny. Určite: normalizačnú konštantu A, strednú (očakávanú) hodnotu polohy elektrónu , strednú hodnotu hybnosti, strednú kvadratickú odchýlku merania hybnosti, strednú kvadratickú odchýlku merania súradnice a zistite, či tento súčin splňuje Heisenbergov vzťah neurčitosti

Riešenie  Podľa zadania príkladu vyžadujeme, aby sa elektrón vyskytoval na intervale <0,L>.

A) Postulát I: kvadrát navrhovanej funkcie zodpovedá hustote pravdepodobnosti v danom okamihu. Normalizačnú konštantu A určíme z predpokladu, že elektrón sa s pravdepodobnosťou rovnej jedna vyskytuje na intervale <0,L>:

, (13.4.4.2)

po vypočítaní integrálu a malej úprave dostaneme

. (13.4.4.3)

Navrhovaná vlnová funkcia teda existuje aj keď to ešte nezaručuje, že je riešením zodpovedajúcej Schrödingerovej rovnice.

B) Postulát II: Navrhnutá vlnová funkcia je spojitá včítane prvej a druhej derivácie.

C) Postulát III: V klasickej mechanike potrebujeme na jednoznačné určenie pohybu hmotného bodu určiť polohu a hybnosť hmotného bodu. Uvedené pravidlo v kvantovej mechanike neplatí. Je vylúčené Heisenbergovým princípom neurčitosti. Rovnako ako v klasickej mechanike platí, že na určenie pohybu (všeobecnej evolúcie) treba poznať začiatočný stav. V klasickej mechanike je stav daný polohou a hybnosťou. V kvantovej mechanike úplným súborom navzájom komutujúcich veličín (operátorov). Poloha a hybnosť také nie sú.

V kvantovej mechanike musíme nájsť príslušné operátory pozorovateľných fyzikálnych veličín : polohy a hybnosti elektrónu viazaného na úsečke dĺžky L. V Schrödingerovej rovnici vystupuje poloha v potenciálnej energii. Operátor polohy je teda totožný s polohou . Hybnosť vystupuje v kinetickej energii

.

V kvantovomechanickej interpretácii vlno-častice je kinetická energia určená:

.

a operátor hybnosti

.

D) Postulát IV: Určime strednú hodnotu (očakávanú hodnotu) polohy podľa vzťahu (13.4.1.4) nasledovne:

,

po dosadení za (x, t) (čas vystupuje opäť, ako parameter):

.

Po vyriešení posledného integrálu pre očakávanú hodnotu polohy elektrónu dostaneme:

. (13.4.4.4)

To znamená, že očakávaná hodnota polohy elektrónu, teda to, čo budem merať v experimente, je práve v strede úsečky, na ktorej je lokalizovaný. V tomto prípade je tam aj najväčšia amplitúda vlnovej funkcie. Strednú (očakávanú) hodnotu hybnosti vypočítame podobne:

, (13.4.4.5)

po dosadení za y(x,t):

.

Po vypočítaní posledného integrálu pre strednú hodnotu hybnosti dostaneme:

. (13.4.4.6)

Na určenie nepresnosti merania potrebujeme určiť strednú kvadratickú odchýlku merania (normálne štatistické spracovanie merania) polohy a hybnosti. Teda po dosadení do základných vzťahov:

, (13.4.4.7)

. (13.4.4.8)

Po dosadení príslušných vzťahov a vyriešení integrálu dostaneme:

. (13.4.4.9)

Podobne pre strednú kvadratickú odchýlku merania hybnosti:

, (13.4.4.10)

. (13.4.4.11)

Znovu po dosadení a vyriešení integrálu dostaneme:

. (13.4.4.12)

Súčin strednej kvadratickej odchýlky merania polohy a hybnosti nám dá celkovú neistotu merania polohy a hybnosti dostaneme:

(13.4.4.13)

Posledná nerovnosť spĺňa vzťah neurčitosti. Týmto postupom sme si ukázali, že aplikovaním prvých štyroch postulátov možno získať vzťah neurčitosti.