Odvodenie 2. pohybovej rovnice
Odvodenie druhej pohybovej rovnice a zákona zachovania momentu hybnosti
Základné zákony pre pohyb tuhého telesa sa dajú vysvetliť prechodom od sústavy častíc k telesu. Problém uvedieme riešením pre jednu časticu. Principiálne tým nič nového nedostaneme, pretože ide o „sústavu“ s jednou časticou, a teda s tromi stupňami voľnosti, ktorá je jednoznačne riešiteľná z prvej pohybovej rovnice. Definujeme však nové fyzikálne veličiny, ukážeme ich význam a naznačíme postup všeobecného odvodenia.
Moment hybnosti častice L vzhľadom na daný vzťažný bod O je vektorová veličina daná vektorovým súčinom polohového vektora r častice a hybnosti častice p (Obr. 4.2.2.1).
Moment hybnosti častice závisí od voľby vzťažného bodu. Preto: moment hybnosti je vektor umiestnený do vzťažného bodu O:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt185.gif)
Overme, že pre izolovanú časticu (časticu, na ktorú nepôsobí sila) sa moment hybnosti zachováva, t. j. platí
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt186.gif)
Dosadením a úpravou dostávame:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt187.gif)
Prvý člen je nulový, pretože rýchlosť a hybnosť sú rovnobežné vektory, v druhom člene sme uplatnili zákon zachovania hybnosti:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt188.gif)
Pre neizolovanú časticu platí pohybová rovnica
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt189.gif)
Vynásobením tejto rovnice zľava vektorovo polohovým vektorom a analogickou úpravou ľavej strany ako v rovnici (4.2.2.2) dostávame iné vyjadrenie tejto pohybovej rovnice. (V analógii s rovnicou, ktorú odvodíme pre sústavu častíc alebo teleso, ju môžeme nazvať druhou pohybovou rovnicou pre časticu.) Platí
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt190.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt191.gif)
kde moment sily M a moment hybnosti L sú momenty vzhľadom na ten istý vzťažný bod.
Ako príklad uplatnenia rovnice (4.2.2.3) možno uviesť pohyb častice v centrálnom silovom poli (to je napr. pohyb planéty okolo Slnka). Nech je vzťažný bod centrálny bod, potom moment sily je nulový:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt192.gif)
pretože centrálna sila je rovnobežná s polohovým vektorom. Z rovnice (4.3.2.2) vyplýva, že moment hybnosti je konštantný a teda aj plošná rýchlosť (Obr. 4.2.2.2) (definovaná ako veličina číselne sa rovnajúca ploche vytvorenej sprievodičom za jednotku času):
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt193.gif)
je konštantná:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt194.gif)
Uvažujme teraz sústavu dvoch častíc. Využime homogénnosť a izotrópnosť priestoru, t. j. translačnú a rotačnú symetriu priestoru a odvoďme exaktne zákon akcie a reakcie. Všeobecne potenciálna energia vytvorená vzájomným pôsobením dvoch častíc je funkciou polohy týchto častíc:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt195.gif)
Z homogénnosti priestoru platí:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt196.gif)
posunutím sústavy častíc o vektor ro sa energia nemení a preto je táto len funkciou vzájomného polohového vektora r: Wp(r). Z izotrópnosti priestoru platí, že energia sa nezmení po pootočení sústavy častíc:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt197.gif)
Obr. (4.2.2.3) znázorňuje posunutie voľbou novej súradnicovej sústavy S´, otočenie, otočením sústavy bodov v súradnicovej sústave S. Preto je energia len funkciou vzdialenosti častíc Wp(r).
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt198.gif)
Ekvipotenciálne hladiny energie častice 2 sú sústredné guľové plochy so stredom v častici 1 a pre silu, ktorou pôsobí častica 1 na časticu 2 platí zo vzťahov odvodených v časti o fyzikálnych poliach
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt199.gif)
sila je rovnobežná s vektorom r. Z tohoto vzťahu rovnako platí pre silu pôsobiacu na prvú časticu, že je daná rovnakým výrazom, zmena je len v tom, že smer určujúci vektor je opačný k vektoru r. Preto tieto dve sily sú vektory opačné ležiace na jednej priamke. To je zákon akcie a reakcie a možno ho zapísať v tvare
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt200.gif)
Podľa vzťahu (4.2.2.3) pre častice platia pohybové rovnice
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt201.gif)
Ich sčítaním dostávame
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt202.gif)
Po zovšeobecnení pre izolovanú sústavu N častíc (Na i-tu časticu s momentom hybnosti Li pôsobí moment sily
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt203.gif)
je moment sily pôsobiaci na i-tu časticu vytvorený silou, ktorou na ňu pôsobí j-ta častica, celkový moment hybnosti sústavy je súčet momentov jednotlivých častíc:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt204.gif)
dostávame zákon zachovania momentu hybnosti pre izolovanú sústavu častíc.
V izolovanej sústave častíc sa celkový moment hybnosti zachováva:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt205.gif)
V neizolovanej sústave častíc na i-tu časticu pôsobí celková sila Fi, ktorá je súčtom všetkých vnútorných na ňu pôsobiacich síl
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt206.gif)
a vonkajšej sily
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt207.gif)
Pre túto časticu platí pohybová rovnica (4.2.2.3)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt208.gif)
Takúto rovnicu môžeme napísať pre každú časticu, sčítajme pravé a ľavé strany rovníc pre všetky častice
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt209.gif)
kde sme využili, že zo zákona akcie a reakcie súčet momentov vnútorných síl sa rovná nule. Ak zavedieme celkový moment vonkajších síl
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt210.gif)
a uvážime, že platí
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt211.gif)
dostávame druhú pohybovú rovnicu sústavy častíc:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt212.gif)
časová zmena celkového momentu hybnosti sústavy sa rovná celkovému momentu vonkajších síl pôsobiacich na túto sústavu.