Odvodenie pohybovej rovnice pre rotačný pohyb okolo pevnej osi
Odvodenie pohybovej rovnice pre rotačný pohyb okolo pevnej osi
Dosaďme do definície momentu hybnosti pre rotačný pohyb uhlovú rýchlosť otáčania
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt213.gif)
a využime vzťah pre dvojnásobný vektorový súčin
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt214.gif)
označme
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt215.gif)
(súradnica priemetu vektora ro do osi otáčania) a uvedomme si, že uhlová rýchlosť všetkých bodov je rovnaká:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt216.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt217.gif)
Pre teleso so symetricky rozloženou hmotnosťou vzhľadom na os otáčania pre každý hmotný element dm, zložený z dvoch rovnakých symetricky rozložených častí, platí (Obr.4.2.4.2):
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt218.gif)
kde ro je priemet vektora ro do osi otáčania.
Dosadením do predchádzajúceho vzťahu platí:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt219.gif)
kde sme zaviedli novú veličinu: moment zotrvačnosti vzhľadom na os J:
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt220.gif)
integrál štvorca kolmých vzdialeností hmotných elementov od danej osi cez celú hmotnosť telesa.
Pre teleso, ktoré nemá symetricky rozloženú hmotnosť vzhľadom na danú os vzťah
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt221.gif)
neplatí, moment hybnosti nemá smer osi otáčania. Jeho priemet do osi otáčania (ktorý potrebujeme do rovnice (4.2.4.1) je daný úpravou rovnice (4,2.4.4) a vzťahmi medzi
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt222.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt223.gif)
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt224.gif)
Dosadením do rovnice (4.2.4.1) dostávame pohybovú rovnicu pre otáčanie telesa okolo osi
![](https://www.butkaj.com/go/fyzika1/images/tt225.gif)
na teleso pôsobiaci moment sily vzhľadom na os sa rovná súčinu momentu zotrvačnosti telesa vzhľadom na túto os a uhlového zrýchlenia.