Informácie

Podpora


Vlastná a vzájomná indukčnosťVlastná a vzájomná indukčnosť

Uvažujme o slučke s elektrickým prúdom I. V svojom okolí vytvára vlastné magnetické pole s uzavretými magnetickými indukčnými čiarami. Tie pretínajú ľubovoľnú plochu, ktorú prúdová slučka ohraničuje a vytvárajú vlastný magnetický tok F cez túto plochu. Vlastná indukčnosť prúdovej slučky L je definovaná podielom vlastného magnetického toku F a elektrického prúdu I v slučke

(10.6.2.1)

Jednotka indukčnosti v sústave SI henry (1 H = 1 Wb.A-1) je pomenovaná podľa amerického fyzika Josepha Henryho (1797-1878). Pre cievku s počtom závitov N s elektrickým prúdom I sa definuje cievkový magnetický tok Fc = NF, kde magnetický tok F prechádza cez povrch jedného závitu cievky. Vlastná indukčnosť cievky bude

(10.6.2.2)

V prípade, ak sa v priestore nachádzajú dve prúdové slučky s prúdmi I1 a I2, bude celkový magnetický tok F1 cez plochu ohraničenú prvou slučkou súčtom vlastného toku F11 a vzájomného toku F12, ktorý je na ploche ohraničenej prvou slučkou vytvorí magnetické pole generované elektrickým prúdom I2 v druhej slučke

(10.6.2.3)

kde L11 je vlastná indukčnosť prvej slučky a L12 = M je vzájomná indukčnosť medzi slučkami. Zrejme podobný vzťah platí pre celkový magnetický tok F2 na ploche ohraničenej druhou slučkou

(10.6.2.4)

kde L22 je vlastná indukčnosť druhej slučky. Z posledných dvoch vzťahov pre vzájomnú indukčnosť M = L12 = L21 vyplýva

Pri úprave sme použili Stokesovu vetu a vzťah (10.6.1.12) pre vektorový potenciál A1 generovaný prúdom I1 v prvej prúdovej slučke. R je vzdialenosť medzi vektormi dl1 a dl2. Vzájomná indukčnosť M v konečnom dôsledku závisí iba od permeability vákua, vzájomnej polohy a geometrických rozmerov slučiek

(10.6.2.5)

Práca vonkajšej sily pri prenose bodového elektrického náboja q1 z referenčného bodu do miesta 1 s potenciálom j1 (generovaného bodovým elektrickým nábojom q2) sa rovná súčinu j1q1. Práca vonkajšej sily pri prenose bodového elektrického náboja q2 z referenčného bodu do miesta 2 s potenciálom j2 (generovaného bodovým elektrickým nábojom q1) sa rovná súčinu j2q2. Výsledkom oboch experimentov je jedna a tá istá sústava, preto sú práce vykonané obidvomi vonkajšími silami rovnaké a sú rovné energii elektrického poľa sústavy pozostávajúcej z dvoch elektrických nábojov

(10.6.2.6)

Výsledok môžeme zovšeobecniť pre sústavu pozostávajúcu z n bodových elektrických nábojov

(10.6.2.7)

V prípade spojitého rozloženia elektrického náboja v priestore vyjadríme energiu elektrického poľa integrálom

(10.6.2.8)

Energiu magnetického poľa Wm budeme určovať analogicky. Stačí zameniť v poslednom vzťahu j®A, r®j a pri predpoklade, že naša diskrétna sústava pozostáva z n prúdových slučiek s elektrickým prúdom Ik, prierezom Sk/ a plochou Sk ktorú k-ta prúdová slučka ohraničuje, po úprave získame

Aplikáciou Stokesovej vety získame

Energia magnetického poľa sústavy z n prúdových slučiek sa rovná

(10.6.2.9)

S využitím posledného vzťahu a vzťahov (10.6.2.3), (10.6.2.4) pre energiu magnetického poľa sústavy dvoch prúdových slučiek dostaneme

a po úprave

(10.6.2.10)

Pri zmene smeru elektrických prúdov v oboch slučkách sa energia nezmení, pri zmene smeru prúdu v ľubovoľnej slučke sa zmení znamienko pred energiou vzájomnej väzby MI1I2.

S využitím (10.6.2.1) získame pre energiu magnetického poľa jednej prúdovej slučky

(10.6.2.11)

Energia magnetického poľa cievky sa rovná

(10.6.2.12)

Hustotu energie magnetického poľa vnútri dlhej cievky (solenoidu) dĺžky l, s počtom závitov N, s plošným obsahom S jedného závitu určíme s využitím (10.6.2.12), Ampérovho zákona celkového prúdu (10.4.2.9) a definície magnetického toku (10.5.1.2). Ak zanedbáme pole mimo solenoidu na uzavretej integračnej krivke, časť ktorej sa nachádza vnútri solenoidu, z Ampérovho zákona dostaneme

Hustota energie magnetického poľa vnútri solenoidu bude

(10.6.2.13)

Vo všeobecnosti, v ľubovoľnom bode priestoru určíme hustotu energie magnetického poľa vzťahom

(10.6.2.14)

 

Kontrolné otázky

  1. Prečo zavádzame magnetický vektorový potenciál?
  2. Je vektorový potenciál rotáciou magnetickej indukcie?
  3. Je magnetická indukcia B v každom bode kolmá na magnetický vektorový potenciál A?
  4. Je vektor Idl prúdovodiča kolmý na jeho príspevok dB do magnetickej indukcie?
  5. Prečo sa rovnobežné vodiče so súhlasne orientovanými prúdmi priťahujú, ale elektrické náboje rovnakého znamienka sa pri pohybe vedľa seba tým istým smerom odpudzujú?
  6. Definujte vlastnú a vzájomnú indukčnosť!
  7. Ako sa zmení energia magnetického poľa sústavy dvoch prúdových slučiek pri zmene smeru elektrických prúdov?

 

Úlohy

1. Vypočítajte vektorový potenciál v strede prúdovej slučky v tvare kružnice! (0 T.m)

2. Vypočítajte magnetický vektorový potenciál a magnetickú indukciu na osi prúdovej slučky tvaru kružnice polomeru 10 cm s elektrickým prúdom 2 A vo vzdialenosti 20 cm od stredu. (0 T.m, 1,124 mT)

3. Určte indukčnosť solenoidu dĺžky l=10cm, prierezu S=2 cm2 s počtom závitov N=1000. Aká je energia magnetického poľa vnútri ak solenoidom tečie prúd I=2 A? (2,5 mH, 5 mJ)